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Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008
E XERCICE 1 4 points
Commun à tous les candidats
x
1. Soit f la fonction définie sur [1 ; +∞[ par f (x) = et soit H la fonction
x
ex − 1
définie sur [1 ; +∞[ par H (x) = f (t ) dt .
1
a. Justifier que f et H sont bien définies sur [1 ; +∞[
b. Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
→ →
− −
c. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal O, ı ,
du plan. Interpréter en termes d’aire le nombre H (3).
2. On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre
H (3).
x e−x
a. Montrer que pour tout réel x > 0, x =x× .
e −1 1 − e−x
3 1 1 3
b. En déduire que f (x) dx = 3ln 1 − 3 − ln 1 − − ln 1 − e−x dx.
1 e e 1
1 1
c. Montrer que si 1 x 3, alors ln 1 − ln (1 − e−x ) ln 1 − 3 .
e e
3 3
d. En déduire un encadrement de ln 1 − e−x dx puis de f (x) dx.
1 1
E XERCICE 2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z A , zB et zC trois points
A, B et C .
z B − zC CB z B − zC −→ −→
− −
Alors = et arg = C A , CB (2π).
z A − zC CA z A − zC
2. Soit z un nombre complexe et soit θ un réel :
z = eiθ si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ, où k est un entier relatif.
Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’af-
fixe ω est la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′
d’affixe z ′ tel que
z ′ − ω = eiα (z − ω).
Partie B
→ →
− −
Dans un repère orthonorrnal direct du plan complexe O, u , v d’unité graphique
2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
z A = − 3 − i, zB = 1 − i 3, zC = 3 + i et zD = −1 + i 3.
1. a. Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres
complexes z A , zB , zC et zD .
Baccalauréat S
b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans
→ →
− −
le repère O, u , v ?
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABC D ?
π
2. On considère la rotation r de centre B et d’angle − . Soient E et F les points
3
du plan définis par : E = r (A) et F = r (C ).
a. Comment construire à la règle et au compas les points F et E dans le
repère précédent ?
b. Donner l’écriture complexe de r .
c. Déterminer l’affixe du point E .
E XERCICE 2 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est
une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme
z ′ = az + b, où a ∈ C∗ et b ∈ C.
Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si A, B, A ′
et B ′ sont quatre points tels que A est distinct de B et A ′ est distinct de B ′ , alors il
existe une unique similitude directe transformant A en A ′ et B en B ′ .
Partie B
→ →
− −
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal direct O, u , v on considère
les points A, B, C , D d’affixes respectives
z A = − 3 − i, zB = 1 − i 3, zC = 3 + i et zD = −1 + i 3.
1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nomlres com-
plexes z A , zB , zC et zD .
b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra
pour unité graphique 2 cm).
c. Déterminer le milieu du segment [AC ], celui du segment [BD]. Calculer
zB
le quotient . En déduire la nature du quadrilatère ABC D.
zA
π
2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est z ′ = e−i 3 z +2.
a. Déterminer les éléments caractéristiques de g .
b. Construire à la règle et au compas les images respectives E , F et J par g
des points A, C et O.
c. Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer.
E XERCICE 3 4 points
Commun à tous les candidats
B
On considère un tétraèdre ABC D.
On note I , J , K , L, M, N les
milieux respectifs des arêtes
[AB], [C D], [BC ], [AD], [AC ] et
[BD].
On désigne par G l’isobarycentre des
points A, B, C et D. A
C
D
Pondichéry 2 16 avril 2008
Baccalauréat S
1. Montrer que les droites (I J ), (K L) et (M N ) sont concourantes en G.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que AB = C D, BC = AD et AC = BD.
(On dit que le tétraèdre ABC D est équifacial, car ses faces sont isométriques).
2. a. Quelle est la nature du quadrilatère I K J L ? Préciser également la nature
des quadrilatères I M J N et K N LM.
b. En déduire que (I J ) et (K L) sont orthogonales. On admettra que, de même,
les droites (I J ) et (M N ) sont orthogonales et les droites (K L) et (M N )
sont orthogonales.
3. a. Montrer que la droite (I J ) est orthogonale au plan (MK N ).
− −−
→ −→
b. Quelle est la valeur du produit scalaire I J · MK ? En déduire que (I J ) est
orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J ) est orthogonale
à la droite (C D).
c. Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [C D].
d. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini-
tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite
au tétraèdre ABC D ?
E XERCICE 4 7 points
Commun à tous les candidats
On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en
millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’an-
née.
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : un modèle discret
Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran
plat l’année n.
On pose n = 0 en 2005, u0 = 1 et, pour tout n 0,
1
un+1 = un (20 − un ) .
10
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; 20] par
1
f (x) = x(20 − x).
10
a. Étudier les variations de f sur [0 ; 20].
b. En déduire que pour tout x ∈ [0 ; 20], f (x) ∈ [0 ; 10].
c. On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans
un repère orthonormal.
Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre-
miers termes de la suite (un )n 0 .
2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, 0 un un+1 10.
3. Montrer que la suite (un )n 0 est convergente et déterminer sa limite.
Partie B : un modèle continu
Soit g (x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x.
On pose x = 0 en 2005, g (0) = 1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[,
de l’équation différentielle
Pondichéry 3 16 avril 2008
Baccalauréat S
1
(E) ; y ′ = y(10 − y)
20
1
1. On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur [0 ; +∞[ et on pose z =.
y
a. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de
l’équation différentielle :
1 1
(E1 ) : z′ = − z + .
2 20
b. Résoudre l’équation (E1 ) et en déduire les solutions de l’équation (E).
10
2. Montrer que g est définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = .
−1x
9e 2 + 1
3. Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[.
4. Calculer la limite de g en +∞ et interpréter le résultat.
5. En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-
t-il 5 millions ?
Pondichéry 4 16 avril 2008
Baccalauréat S
ANNEXE
À rendre avec la copie
14
13
13
12
12
11
11
10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-1
−4 −3 −2−1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
-2
−2
-3
−3
Pondichéry 5 16 avril 2008
Informations
Catégorie :
Annales et Exercices
Description :
BAC Mathematiques 2008 S sujet pondichéry
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