Chapitre 7Statistique descriptive à une variableI VocabulaireVocabulaire◮ Population : Ensemble étudié d’objets, de personnes ...◮ Individu : Un élément de la population◮ Caractère : C’est une caractéristique, une propriété des individusExemples :◮ Population : Le parc automobile d’un pays. Caractère : l’âge ou la couleur du véhicule.◮ Population : Les pays de l’europe. Caractère : l’effectif de la population.◮ Population : Une classe. Caractère : Les notes à un devoir ou la taille d’un élève.Définition Une série statistiqueUne série statistique est l’ensemble des valeurs prises par le caractère étudié sur la population consi-dérée.Remarque La valeur d’un caractère n’est pas forcément numérique!On distingue les cas suivants :Qualitatif : Exemples : la couleur, oui/non d’un référendum ...Caractèrediscret : Exemples : âge, nombre d’enfants ...Quantitatifcontinu :Exemples : taille, poids ...Exercices : Livre : 1, 2 et 3 page 146Le vocabulaire.22II. REPRÉSENTATIONSD’UNE SÉRIE 23II Représentations d’une sérieMise en forme dans un tableauAprès étude, la série apparaît à l’état brut.On notera x la série et x , x , ..., x les valeurs prises par le caractère étudié donnant la série à l’état1 2 Nbrut.N correspond donc à l’effectif total de la sérieC’est le cas avec l’exemple suivant :Exercice : Sur une classe, les notes à un devoir sont :7 14 8 9 10 10 11 12 12 8 8 9 10 10 11 11 1210 10 8 8 9 10 10 10 11 11 9 10 10 10Une première représentation ...
I Vocabulaire Vocabulaire ◮Population: Ensemble étudié d’objets, de personnes ... ◮Individu: Un élément de la population ◮Caractère: C’est une caractéristique, une propriété des individus Exemples : ◮Population :Le parc automobile d’un pays.Caractère :l’âge ou la couleur du véhicule. ◮Population :Les pays de l’europe.Caractère :l’effectif de la population. ◮Population :Une classe.Caractère :Les notes à un devoir ou la taille d’un élève.
DéfinitionUne série statistique Une série statistique est l’ensemble des valeurs prises par le caractère étudié sur la population consi dérée.
RemarqueLa valeur d’un caractère n’est pas forcément numérique!
On distingue les cas suivants :
Caractère
Qualitatif:
Quantitatif
Exemples :la couleur, oui/non d’un référendum .. .
Exercices : Livre : 1, 2 et 3 page 146 Le vocabulaire.
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discret:Exemples :âge, nombre d’enfants .. .
continu:Exemples :. .taille, poids .
II. REPRÉSENTATIONSD’UNE SÉRIE23 II Représentationsd’une série Mise en forme dans un tableau Après étude, la série apparaît àl’état brut. On noteraxla série etx1,x2, .. .,xNles valeurs prises par le caractère étudié donnant la série à l’état brut. Ncorrespond donc à l’effectif total de la série C’est le cas avec l’exemple suivant : Exercice : Sur une classe, les notes à un devoir sont :
Une première représentation consiste à ranger les valeurs dans un tableau. ◮Dans un tableau d’effectifs.
Valeurxix1x2. . .xpTotalpest le nombre de valeurs différentes prises par la série. Effectifn nn. . .n N i1 2pN=n1+n2+∙ ∙ ∙+np Pour notre exemple on obtient :N= 31,p= 7et le tableau suivant : Valeurxi7 8 9 10 11 12 14Total Effectifni5 3 11 5 4 12N= 31
◮Dans un tableau de fréquences. DéfinitionFréquence d’une valeur de la série ni La fréquence de la valeurxisera notéefiet se calcule ainsi :fi=. N ni Elle s’exprime parfois en pourcentage et se calcule alors avec :fi=×100. N Une fois les calculs de fréquences réalisés, on peut présenter le tableau des fréquences de la série. Valeurxix1x2. . .xpTotal pest le nombre de valeurs différentes prises par la série. Fréquencefif1f2. . .fp1 ou 100 %
Pour notre exemple on obtient : AvecN= 31, le tableau est :
◮Dans un tableau avec regroupement des valeurs. Ce sera le cas des séries à très grands effectifs ou avec un caractère continu. DéfinitionClasse d’une série Une classe est un intervalle[a;b[, aveca < bdans lequel on regroupe toutes les valeursxi vérifiant :a6xi< b Ensuite on peut dresser un tableau d’effectifs ou de fréquences. Pour notre exemple. Classe[0 ;5[ [5; 10[; 20][10 ;15[ [15Total Effectif0 1021 0N= 31 10 21 Fréquence10 0 31 31 Dans ce cas, les données du tableau sont moins précises que la série à l’état brut.
Représentations graphiques On distingue : ◮Les diagrammes en bâtons ◮Les diagrammes circulaires, semicirculaires ... ◮Les histogrammes, pour représenter des données regroupées en classes. ◮Courbe des effectifs ou fréquences cumulés. Exercice : Le scrabble Diagrammes en bâtons.Voir l’énoncé Exercice : Livre : 4 page 146 Diagramme circulaire à lire. Exercices : Document 1 : Tout Histogrammes : Définition. Exercice : Livre : 6 page 146 Histogramme à construire. Exercice : Livre : 7, 10 page 147 Effectifs et fréquences.
III Caractéristiquesd’une série Une série statistique étant donnée et mise en forme. On procède alors à une étude numérique, en calculant desindicateursappeléscaractéristiques.
III. CARACTÉRISTIQUESD’UNE SÉRIE
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Cela permet d’analyser les résultats obtenus sur le caractère étudié et/ou de comparer deux séries entre elles. On distingue deux types de caractéristiques :
Caractéristiques de dispersion ou de répartition ◮L’étendue d’une série DéfinitionEtendue d’une série Elle est notéee, et se calcule comme l’amplitude des valeurs de la sériex. On a donce=xmax−xmin. Par définition, elle ne dépend que des valeurs extrêmes et représente donc mal la dispersion de la totalité de la série. Parfois, la série sera élaguée des valeurs extrêmes considérées comme aberrantes. ◮La médiane d’une série DéfinitionMédiane d’une série La médianemd’une série est une valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs égaux, la moitié a des valeurs inférieures àmet l’autre des valeurs supérieures àm. Dans la pratique, on calculemune fois la série ordonnéeavec la règle suivante : ◮Si l’effectif total de la série est impair, la médiane d’une série est la valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs égaux.mest donc la valeur centrale de la série ordonnée. ◮Si l’effectif total de la série est pair, la médiane est la demisomme des valeurs centrales. mn’est donc pas une valeur de la série dans ce cas! ◮Les quartiles d’une série DéfinitionLes quartiles d’une série Le premier quartileQ1d’une série est une valeur qui partage la population en deux groupes d’effectifs respectivement un quart et trois quarts : Dans la pratique, on calculeQ1une fois la série ordonnéeavec la même démarche que pour la médiane. ◮Si l’effectif total de la série se divise par4, le premier quartileQ1est la valeur qui partage la population avec un quart des valeurs sont inférieures àQ1et trois quarts des valeurs sont supérieures àQ1. ◮Si l’effectif total de la série ne se divise pas par4, le premier quartileQ1est la demi somme des valeurs centrées sur l’effectif un quart.Q1n’est donc pas une valeur de la série dans ce cas! On définit de même le quartileQ3pour la répartition trois quarts, un quart. Remarque Pour mesurer la dispersion, on préfèrera l’écart interquartileQ3−Q1à l’étendue car moins sensible aux valeurs extrêmes.
Caractéristiques de position ◮Le mode d’une série Localisons où se trouvent les valeurs les plus fréquentes : Notion de « pic » d’effectif ou de fréquence.
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CHAPITRE 7.STATISTIQUE DESCRIPTIVE À UNE VARIABLE
DéfinitionLe mode ◮Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif ou fréquence. ◮Dans le cas d’une série avec des données regroupées en classes. La classe modaleest la classe qui a le plus grand effectif ou fréquence. ◮La moyenne d’une série Dans tous les cas avec une série notéex, la moyenne sera elle notéex¯. DéfinitionMoyenne d’une série pour une série à l’état brut On ax:x1;x2;. . . xN.Nétant l’effectif total. On calcule : Somme des valeursx1+x2+∙ ∙ ∙+xN ¯x= = Effectif totalN Bien souvent la série est déjà mise en forme dans un tableau, le calcul sera alors adapté, selon les cas suivants : PropriétéMoyenne d’une série pour une série rangée dans un tableau d’effectifs Valeurxix1x2. . .xpTotal On a : Effectifnin1n2. . .npN On calcule : n1x1+n2x2+∙ ∙ ∙+npxp x¯ = n1+n2+∙ ∙ ∙+np PropriétéMoyenne d’une série pour une série rangée dans un tableau de fréquences Valeurxix1x2. . .xpTotal On a : Fréquencefif1f2. . .fp1 On calcule : x¯ =f1x1+f2x2+∙ ∙ ∙+fpxp PropriétéMoyenne d’une série avec des données regroupées en classes On calcule alors la moyenne avec les centres des classes, notésci. Exercices : Livre : 18 à 23 page 149 Moyennes à la main ou avec la calculatrice (voir p318319).