Chapitre 4ESPACES DE DISTRIBUTIONSVersion du 12 juillet 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 23174.1 Une maniŁre d interprØter la notion de dualitØ4.1 Une maniŁre dinterprØter la notion de dualitØExemple physiqueSoient F un ensemble de fonctions-test sur un espace mØtrique X et m une intØgrale denRadon sur X , canoniques pour le problŁme considØrØ, par exemple un ouvert X de R etl intØgrale de Lebesgue λ . Une fonction m-mesurable f sur X dØcrivant un certain phØnomŁneest en gØnØral connue par lintermØdiaire de moyennes pondØrØes de f :Zhϕ|f •mi := ϕ•fdm;ce sont des mesures de f l aide des appareils ϕ . La forme semi-linØairehƒ|f •mi : ϕ hϕ|f •mi ,i.e.l intØgralededensitØ f par rapport m,estdoncplusnaturellequelafonctionf elle-mŒme.Ceci va nous conduire la thØorie des distributions. Voici une maniŁre de comprendre lanØcessitØ de leur utilisation, et le r le tout fait naturel qu elles jouent. ConsidØrons une boulede billard et le problŁme de la rØßexion sur une bande :Admettonsque, pour tout a,b∈R tels quea 0 , dØpendant de la vitesse et de l angle dincidence, et τ le tempsdu choc.Si ce phØnomŁne est dØcrit par une fonction force de composante F , la loi de Newton F = pœentrane Z Z Zb bp(b)−p(a)= pœ = F = 1 •F .[a,b]a a232 ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude ...
4.1 Une manière dinterpréter la notion de dualité
Exemple physique SoientFun ensemble de fonctions-test sur un espace métriqueXetmune intégrale de Radon surX, canoniques pour le problème considéré, par exemple un ouvertXdeRnet lintégrale de Lebesgueλ. Une fonctionm-mesurablefsurXdécrivant un certain phénomène est en général connue par lintermédiaire de moyennes pondérées def: hϕ|f·mi:=Zϕ·f dm;
ce sont des mesures defà laide des appareilsϕ. La forme semi-linéaire h ¦|f·mi:ϕ7−→hϕ|f·mi, i.e. lintégrale de densitéfpar rapport àm, est donc plus naturelle que la fonctionfelle-même. Ceci va nous conduire à la théorie des distributions. Voici une manière de comprendre la nécessité de leur utilisation, et le rôle tout à fait naturel quelles jouent. Considérons une boule de billard et le problème de la réßexion sur une bande :
Admettons que, pour touta, b∈Rtels quea < b, il existe un appareil qui, entre les temps aetb, mesure la variation de la seconde coordonnépde limpulsion. On obtient p(b)−p(a) =½α0siasi6noτn6b pour un certainα>0, dépendant de la vitesse et de langle dincidence, etτle temps du choc. Si ce phénomène est décrit par une fonction force de composanteF, la loi de NewtonF=pú entraîne p(b)−p(a) =Zabpú=ZabF=Z1[a,b]·F.
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Une manière dinterpréter la notion de dualité
SiFest continue, voire mêmeF∈Lolc1(R), le théorème de Lebesgue montre que Z1[a,b]·F−→0sia6τ6betb−a−→0,
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ce qui est absurde. Il nexiste donc pas de fonction force. Par quoi faut-il la remplacer ? En fait lexpérience nous fournit la correspondance 1[a,b]7−→α·1[a,b](τ), puis α·ετ:ϕ7−→α·ϕ(τ) :E(R)−→C, oùE(R)désigne lespace vectoriel des fonctions en escalier surR. Cela nécessite évidemment une caractérisation convenable dun appareil par une fonction, dite test, laddition de deux fonctions sexprimant par un certain amalgamme des appareils correspondants. Remarquons en outre que dans le cas classique, lopération de moyenne pondérée deF ϕ7−→Zϕ·F, est plus proche de la réalité expérimentale, une fonction nétant connue ponctuellement que par certaines limites de telles moyennes. Ceci montre quil est plus général et plus naturel de considérer des formes linéaires (semi-linéaires si lon travail sur le corps des nombres complexesC) que des fonctions. Lespace vectoriel des fonctions-test peut être de nature très différente suivant les besoins : E(R)pour les probabilités (théorie de la mesure) K(R)pour lanalyse (théorie de lintégration) D(R)ouS(R)pour lanalyse fonctionnelle (théorie des distributions). Nous allons dans la suite concentrer notre attention sur le dernier cas, la théorie de linté-gration ne suffiélectrodynamique, il est nécessaire de pouvoir dériversant pas. Par exemple en les intégrales de Diracετpour formaliser la notion de dipôle.
Exemple économique On interprèteF(=Rn) comme un ensemble decorbeilles (de biens)quun certain fabricant pourrait produire. Le vecteur n ϕ=Xϕj·ej j=1 désigne la corbeille contenantϕjduj-ième bien. Le dualF0(=Rn) est interprété comme un ensemble déconomies:
µ(ϕ)est leprixde la corbeilleϕréalisable dans léconomieµ. La linéarité deµtraduit bien la manière de payer On se donne une !fonction de coûtf:F−→ e R:
f(ϕ)est lecoût de productionde la corbeilleϕ.
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4.1
Une manière dinterpréter la notion de dualité
Alors µ(ϕ)−f(ϕ)est leproÞtfait sur la corbeilleϕdans léconomieµ, donc f◦(µ) := supϕ∈F[µ(ϕ)−f(ϕ)] est leproÞt maximumréalisable dans léconomieµRemarquons que dans certains cas il existe. une corbeilleϕmaxtelle que f◦(µ) =µ(ϕmax)−f(ϕmax), qui engendre donc le proÞt maximum dans léconomieµ. Le nombreµ(ϕ)−f◦(µ)est le coût de production idéal de la corbeilleϕquil ne faudrait pas dépasser pour réaliser le proÞt maximum dans léconomieµ, donc f◦◦(ϕ) := supµ∈F0[µ(ϕ)−f◦(µ)] est le plus grand coût idéal de production de la corbeilleϕ. Nous avons vu en 3.9 quef◦etf◦◦sont des fonctions convexes s.c.i.. Sifest convexe et s.c.i.6=∞, alors le théorème de Fenchel (théorème 3.9) exprime que f=f◦◦ , donc que le coût de la corbeilleϕest égal au coût idéal maximal deϕ.
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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 4.2 Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées Dans ce paragrapheXdésigne un espace localement compact. ú DEFINITION 1Siµest une intégrale de Radon positive, nous désignerons parN(µ)les-pace vectoriel des fonctions localementµ-négligeables et nous poserons Loc1l(µ) :=Loc1l(µ)±Nú(µ); Remarquons que sif=glocalementµ-p.p. , alorsϕ·f=ϕ·g µ-p.p. pour toutϕ∈K(X), puisqueϕ·fetϕ·gsontµ-modérées (cf. lemme 1.16). DEFINITION 2Nous munironsLl1co(µ)de la topologie localement convexe déÞnie par les semi-normes f7−→Z|ϕ·f|dµpourϕ∈K(X). Les semi-normes f7−→Z|f|dµpourK∈K(X) K forment un système équivalent, car Z|ϕ·f|dµ6kZsuppϕ ϕk∞· |f|dµ, et ZK|f|dµ6Z|χ·f|dµ en choisissantχ∈K(X)telle queχ>1K. LEMMELes applications canoniques K(X)−→L2(µ),→Locl1(µ) sont continues et dimage dense. En effet, pour toutK∈K(X)etϕ∈K(X, K), on a kϕk22=Z|ϕ|2dµ6µ(K)· kϕk2∞, ce qui prouve la continuité de la première application. Elle est dimage dense daprès le théorème de densité pourL2(µ)(cf. cours dAnalyse [17], théorème 15.15). Quant à la seconde, elle est injective par le lemme 1.16.iv et continue, car pour toutϕ∈K(X)etξ∈L2(µ), on a Z|ϕ·ξ|dµ6kϕk2· kξk2. Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS235
4.2
Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées
Pour la densité soitf∈Lclo1(µ),K∈K(X)etε>0. On a1K·f∈L1(1K·µ)et, puisque [K(X)]est dense dansL1(µ), il existeψ∈K(X)⊂L2(µ)tel que ZKdµ=Z|ψ−1K·f| ·1Kd |ψ−f|µ6ε, ce quil fallait démontrer. Rappelons lexemple 3.4.8.
THEOREME (i) Siµest une intégrale de Radon positive, alors lapplication f7−→f·µ:Lcol1(µ)−→M(X) est injective et continue. (ii) Si pour tout ouvertO6=∅, on aµ(O)>0, alors ϕ7−→ϕ·µ:K(X)−→M(X) est injective, continue et dimage dense.
¤
Démonstration de (i)Remarquons tout dabord, en écrivantfcomme combinaison linéaire de fonctions positives, quef·µ∈M(X). Sif·µ= 0, on aRϕ·f dµ= 0pour toutϕ∈K(X), doncf= 0localementµ-p.p. puisqueK(X)est un espace test (cf. exemple 1.16.2). La continuité découle du lemme 3.7 car on a |hϕ|f·µi|6Z|ϕ·f|dµ.
Démonstration de (ii)K(X)se plonge injectivement dansL2(µ)(cf. remarque 1.2.1), donc dansLl1co(µ), et par suite dansM(X)par (i). Cette application est continue par le lemme. Finalement la densité découle du corollaire 3.10.ii car, pour toutψ∈ihψ| K(X)·µi= {0}, i.e.Rψ·ϕdµ= 0pour toutϕ∈K(X), on obtientR|ψ|2dµ=K0(X,)conds,ψ= 0.¤
REMARQUE 1Dans le cas général, on a K(X)−→L2(µ),→L1loc(µ),→M(X). Il ne faut pas oublier que limage[K(X)]deK(X)dansM(X)dépend de lintégraleµ, dite pivot, que lon a choisie. Sil faut préciser, on désigne cette image parK(X)·µ. On pourrait aussi écrireLclo1(µ)·µpour limage deLcol1(µ).
REMARQUE 2Sous lhypothèse de (ii), on a K(X),→L2(µ),→L1loc(µ),→M(X) et toutes ces applications sont dimage dense. PuisqueM(X)est séquentiellement complet par le théorème de Banach-Steinhaus (corol-laire 3.1) et lexemple 2.13.2, cet espace est une complétion séquentielle deK(X)·µ(ou de Lcol1(µ)) pour la topologie induite par la topologie faibleσ(M(X),K(X))deM(X). Cela nous permet de dire que les intégrales de Radon sont desfonctions généralisées, les fonctions deLl1co(µ)étant identiÞées avec les intégrales de Radon de la formeLl1co(µ)·µcorrespondantes.
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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 Remarquons que limage de la fonction1est1·µ=µ, doncµest la fonction (généralisée) 1!
EXEMPLE 1Pour toutx∈X, lintégrale de DiracεxdéÞnie par hϕ|εxi:=ϕ(x)pour toutϕ∈K(X) est une fonction généralisée bien connue des physiciens. On représente souventεxcomme la limite dansM(X)dune suite(fk)k∈N⊂Loc1l(µ); on écrit εx= limkfk, mais cette limite ne peut pas être représentée par une fonction ! Rappelons que, par déÞnition de la topologie faible surM(X), cela signiÞe que ϕ(x) =hϕ|εxi= limkhϕ|fk·µi= limkZϕ·fkdµ pour toutϕ∈K(X).
EXEMPLE 2Soitρune fonction croissante sur un intervalle ouvertJdeR. Il est clair que λρ:ϕ7−→Zϕ(x)dρ(x) est une forme linéaire positive surK(J)(cf. cours dAnalyse [17], exemple 14.6.2). Nous verrons dans les exemples 3 et 4 de 4.4 la correspondance réciproque entreλρetρ. On peut construire une fonctionρstrictement croissante et continue, qui déÞnisse lintégrale de Hausdorffsur lensemble de Cantor. Rappelons que cet ensemble a une mesure de Lebesgue nulle ! Le graphe approximatif de cette fonction est
Comme exemple simple
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λ:=λid:ϕ7−→Zϕ
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Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées
4.2 est lintégrale de Lebesgue. On dit, pourt∈J, que ht:= 1[t,∞[∩J est lafonction de Heavisideent. On a Zϕdht=ϕ(t) =hϕ|εti, ce qui montre queλhtest lintégrale de Diracεtent. Par commodité en écrithetδpourh0 etε0. EXEMPLE 3Voici encore un espace dintégrales, donc de fonctions généralisées, que nous rencontrerons. On pose Mb(X) :=C0(X)0. Linjection canoniqueK(X),→C0(X)est évidemment continue et dimage dense par le théo-rème de Stone-Weierstraß. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ|K(X):Mb(X)−→M(X) est aussi injective, continue et dimage dense. On voit immédiatement que toute intégrale de Radonbornée, i.e telle que|µ|∗(X)<∞, déÞnit par ϕ7−→Zϕdµ:C0(X)−→K une forme linéaire continue surC0(X). On peut montrer que toute forme linéaire continue sur C0(X)est de cette forme (cf. Dieudonné, ibid., XIII.20). On a kµk=|µ|(X). Siµest une intégrale de Radon quelconque surXetf∈L1(µ), alorsf·µ∈Mb(X)et kf·µk=kfk1,µ, ce qui montre que L1(µ),→Mb(X)β=C0(X)0β est une isométrie et que L1(µ),→Mb(X) =C0(X)0σ est continue.
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Les distributions
4.3 Les distributions
Dans tout les paragraphes qui suiventXdésigne un ouvert deRn.
4.3
DEFINITIONOn dit quune forme linéaire continueµsurD(X), i.e.µ∈D(X)0, est unedistribution, ou unefonction généralisée. Nous considérerons toujours la semi-dualité +D(X)| D(X)0®déÞnie par hϕ|µi:=hϕ, µi. Par déÞnition de la topologie localement convexeÞnale surD(X)(cf. exemple 2.10.3), la proposition 2.10 montre quune forme linéaireµsurD(X)est une distribution si, et seulement si, pour tout compactK⊂X, la restriction deµàD(X, K)est continue, ce qui signiÞe quil existek∈Netc∈R+tels que |hϕ|µi|6c·pK,k(ϕ)pour toutϕ∈D(X, K).
THEOREME (i) Linjection canoniqueD(X),→K(X)est continue et dimage dense. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ|D(X):M(X)−→D(X)0, est aussi injective, continue et dimage dense. (ii) Il en est de même deD(Rn),→S(Rn)etS(Rn),→L2(Rn), ainsi que de leur application adjointe µ7−→µ|D(Rn):S(Rn)0−→D(Rn)0etξ7−→ξ·λ:L2(Rn)−→S(Rn)0. En outre, si lon prend lintégrale de Lebesgueλcomme pivot,D(X)est dense dans D(X)0, de même queD(Rn)dansS(Rn)0.
Démonstration de (i)La continuité est immédiate par la proposition 2.10, car pour toutK∈K(X), lespaceD(X, K)est continûment plongé dansK(X, K), la normek·k∞,K de ce dernier espace étant aussi par restriction une norme surD(X, K), et linjection ca-noniqueK(X, K),→K(X)à la densité, elle découle du théorème deest continue. Quant Stone-Weierstraß, puisqueK(X, K)|K◦=C0(K◦)etD(X, K)|K◦est une sous-algèbre invo-lutive séparant fortement les points deK◦. Calculons ladjointej:M(X)−→D(X)0de j:D(X),→K(X): pour toutϕ∈D(X)etµ∈M(X), on a +ϕ¯jµ®D(X)=hjϕ|µiM(X)=+ϕ¯µ|D(X)®D(X), doù le résultat par le corollaire 3.10.iv. Démonstration de (ii)Pour toutK∈K(Rn)etϕ∈D(Rn, K), on a pk(ϕ) = maxα∈Nn,|α|16k°hidik·∂αϕ°∞6°hidik°∞,K·maxα∈Nn,|α|16kk∂αϕk∞,K=
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4.3 Les distributions =°hidik°∞,K·pK,k(ϕ), ce qui prouve la continuité deD(Rn, K),→S(Rn), donc celle deD(Rn),→S(Rn)par la proposition 2.10. Pour prouver celle deS(Rn),→L2(µ), il suffit de constater que, pour tout ϕ∈S(Rn), on a kϕk22=Zhidi2k· |ϕ|2· hidi−2kdλ6°hidik·ϕ°2∞·Z∗hidi−2kdλ6 6µZ∗hidi−2kdλ¶·pk(ϕ)2 et que ∗ Zhidi−2kdλ<⇒∞⇐2k >2n. Pour la densité considérons tout dabord la fonctionχ∈D(R+)déÞnie par 0 06x61 χ(x) :=0 26x e4·exp³−(x−1)·1(2−x)´si1< x <2. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 χ On a Z12e4·expµ−(x−1)·(21−x)¶dx'.38382 DéÞnissons alors la fonctionρ∈D(R+)par ρ(x) := 1−R0∞1χdλ·Z0xχdλ. On a =61 ρ(x)0201=6x6x ∈]0,1[si1< x <2. 240 Portenier ClaudeESPACES DE DISTRIBUTIONS
Les distributions
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Cette fonction nous permet alors de déÞnir les fonctionsρl∈D(Rn)pourl∈N∗par ρl(x) :=ρÃ|x!. |2 l Pour toutϕ∈S(Rn), nous allons montrer queϕ= limlρl·ϕdansS(Rn); pour cela estimons pk(ρl·ϕ−ϕ) = max|α|16k°hidik·∂α[(ρl−1)·ϕ]°∞6 6max|α|16kXα 06β6αµβ¶·°hidik·∂β(ρl−1)·∂α−βϕ°∞6 6X "06β6αµβα¶#·max|α|16k°hidik+1·∂αϕ°∞·max|α|16k°hidi−1·∂α(ρl−1)°∞. Le membre de droite tend vers0car on a °hidi−1·(ρl−1)°∞= supx∈Rnρ³|xl|2´x2−1ρ ¯1 +| |¯= supy∈R+,y>1¯+(1y)l·−y1¯61l et °hidi−1·∂α(ρl−1)°∞6k∂αρlk∞6cstlpour|α|16k,α6= 0. En effet par récurrence on obtient |x|2 ∂αρl(x) =j|α=X|10Pjα(x)·µ2l¶j·∂jρÃl!, oùPjαsont des polynômes tels queP00= 1,P0α= 0siα6= 0,degPjα61sij <|α|1et degP|αα|1=|α|1. Notre assertion est évidemment vraie pourα= 0. On a alors ∂α+ekρl(x) =∂k|jα=X|10Pjα(x)·µl2¶j·∂jρÃ|xl|2!= =X |α|10"∂kPjα(x)·µl2¶j·∂jρÃ|lx|2!+Pjα(x)·µl2¶j·∂j+1ρÃ|lx|2!·2l·xk#= j= |α|1+1j =XPjα+ek·∂j|x j=0(x)·µl2¶ρÃl|2! en ayant posé Pxjαk·0+PjPαjα−1sijj==1j,|.=.|1.0,+|α1|1. jα+ek=∂kP α CeciÞnit de prouver la densité deD(Rn)dansS(Rn). La densité deS(Rn)dansL2(Rn)découle de celle deD(Rn), qui elle provient de (i) et du lemme 4.2, ou bien directement de lexemple 1.16.3.