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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 207 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Rationnels et irrationnels
Exercice 1[ 02092 ][correction]
Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un
nombre irrationnel.
Exercice 2[ 02093 ][correction]
Montrer que√2n’est pas un nombre rationnel
Enoncés
Exercice 3[ 02094 ][correction]
Calculer√2√2√2. En déduire l’existence d’irrationnels >a b0tels queabsoit
rationnel.
Exercice 4[ 02095 ][correction]
Soitf:Q→Qtelle que
∀x y∈Q f(x+y) =f(x) +f(y)
a) On supposefconstante égaleCquelle est la valeur deC?
On revient au cas général.
b) Calculerf(0).
c) Montrer que∀x∈Q f(−x) =−f(x).
d) Etablir que∀n∈N∀x∈Q f(nx) =nf(x)et généraliser cette propriété à
n∈Z.
e) On posea=f(1). Montrer que∀x∈Q f(x) =ax.
Exercice 5Centrale MP[ 02472 ][correction]
Montrer que
81413+2r53!13+32−1418r53!13
est un rationnel. On conseille d’effectuer les calculs par ordinateur.
Exercice 6Centrale MP[ 02475 ][correction]
n
Sinest un entier>2, le rationnelHn=P1kpeut-il tre entier ?
k=1
1
Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02647 ][correction]
a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers(an)n∈Net(bn)n∈Nvérifiant
(√2 + 1)n=an+bn√2
b) Calculera2n−2b2n.
c) Montrer que pour toutn∈N, il existe un uniquep∈N?tel que
(√2 + 1)n=√p+pp−1
Exercice 8[ 01975 ][correction]
[Irrationalité deπ]
a) Poura b∈N?, montrer que la fonction polynomiale
Pn(x) =n!1xn(bx−a)n
et ses dérivées successives prennent enx= 0des valeurs entières.
b) Etablir la mme propriété enx=ab
c) Pourn∈N?, on pose
In=Z0πPn(t) sintdt
Montrer queIn→0.
d) En supposantπ=ab, montrer queIn∈Z. Conclure.
Exercice 9[ 03668 ][correction]
[Irrationalité deerpourr∈Q?]
a) Poura b∈N?, montrer que la fonction polynomiale
Pn(x) =n!1xn(bx−a)n
et ses dérivées successives prennent enx= 0des valeurs entières.
b) Etablir la mme propriété enx=ab
c) On poser=abet pourn∈N?
In=Z0rPn(t)etdt
Montrer queIn→0.
d) En supposanter=pqavecp q∈N?, montrer queqIn∈Z. Conclure.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
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Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soitxun rationnel etyun irrationnel.
Par l’absurde : Siz=x+yest rationnel alorsy=z−xest rationnel par
différence de deux nombres rationnels. Oryest irrationnel. Absurde.
Corrections
Exercice 2 :[énoncé]
Par l’absurde supposons√2∈Q.
On peut alors écrire√2 =pqavecp q∈N?et, quitte à simplifier,petqnon
tous les deux pairs.
On a alors2q2=p2.
pest alors nécessairement pair carp2est pair. Cela permet d’écrirep= 2kavec
k∈Npuisq2= 2k2.
Mais alorsqest pair. Par suitepetqsont tous les deux pairs.
Absurde.
Exercice 3 :[énoncé]
√2√2√2=√22= 2
Si√2√2est rationnel, c’est gagné aveca=b=√2. Sinon, on prenda=√2√2et
b=√2.
Exercice 4 :[énoncé]
a) La relationf(x+y) =f(x) +f(y)avecfconstante égale àCdonne
C=C+Cd’oùC= 0.
b) Pourx=y= 0, la relationf(x+y) =f(x) +f(y)impliquef(0) = 0.
c) Poury=−x, la relationf(x+y) =f(x) +f(y)donne0 =f(−x) +f(x)d’où
f(−x) =−f(x).
d) Par récurrence :
∀n∈N∀x∈Q f(nx) =nf(x)
Pourn∈Z− n=−pavecp∈Net
f(nx) =f(−px) =−f(px) =−pf(x) =nf(x)
e) On peut écrirex=pqavecp∈Zetq∈N?.
or
donc
puis
f(x) =f(p×q =1 )pf( 1q)
1
=
a=f(1) =f(q×q)qf(q)1
f =( 1 )aq
q
a
f(x) =qp=ax
Exercice 5 :[énoncé]
On définit le nombrexétudié
x:=(2/3+41/81*sqrt(5/3))ˆ(1/3)+(2/3-41/81*sqrt(5/3))ˆ(1/3);
Attention à définir les racines cubiques par des exposants13avec parenthèses.
On peut commencer par estimer la valeur cherchée
evalf(x);
Nous allons chercher à éliminer les racines cubiques. Pour cela on calculex3
expand(xˆ3);
Dans l’expression obtenue, on peut faire apparaîtrexpar factorisation du terme
23+41243√151332−34214√1513
Simplifions ce terme
simplify((2/3+41/243*sqrt(15))ˆ(1/3)*
(2/3-41/243*sqrt(15))ˆ(1/3), assume=positive);
On obtient
811486 + 123√1513486−123√1513
Développons selon(a−b)(a+b) =a2−b2
(486ˆ2-123ˆ2*15)ˆ(1/3);
donne 9261. Enfin
ifactor(9261);
permet de conclure que
32+31442√151323−34124√1513727=
2
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Ainsixest solution de l’équation
4 7
x
x393+=
En factorisant le polynôme sous-jacent
factor(xˆ3-7/9*x-4/3);
on obtient
(3x−4)(3x2+ 4x+ 3) = 0
Puisque3x2+ 4x+ 3>0, on peut conclure
x= 43
Corrections
Exercice 6 :[énoncé]
On définit la suite
H:=n->sum(1/k, k=1..n);
puis on regarde les premiers termes de celle-ci
seq(H(n), n=2..10);
On peut conjecturer queHnest le rapport d’un entier impair par un entier pair.
Ceci assureraHn∈Z.
Démontrons la propriété conjecturée par récurrence forte.
Pourn= 2, c’est immédiat.
Supposons la propriété établie jusqu’au rangn−1>2.
Casnimpair.
On peut écriren= 2k+ 1et puisque par hypothèse de récurrenceHn−1s’écrit
(2p+ 1)2q, on obtientHn=Hn−1+ 1négale au rapport d’un entier impair par
un entier pair.
Casnest pair.
On peut écriren= 2kaveck>2puis
H12Hk 1+ 1
n + 3 += 1∙ ∙ ∙2+k−1
Par hypothèse de récurrence,Hkle rapport d’un entier impair par un entierest
pair, donc21Hkaussi.
De plus, comme entrevu dans l’étude du cas précédent, l’ajout de l’inverse d’un
entier impair conserve la propriété.
AinsiHnest le rapport d’un entier impair par un entier pair.
Récurrence établie.
Exercice 7 :[énoncé]
a) L’existence s’obtient par la formule du binôme de Newton :
an=062Xk6n2kn!2ketbn=062kX+16n2kn+ 1!2k
L’unicité provient de l’irrationalité de√2.
b) Par la formule du binôme de Newton,
(1√−2)n=an√2bn
−
3
puisq
an2−2bn2= (1 +√2)n(1√−2)n= (−1)n
c) L’unicité est évidente compte tenu de la stricte croissance dep7→ √p+√p−1.
2
Sinest pair alorsa2n= 1 + 2bn2. Pourp=an,
(√2 + 1)n=an+√2bn=√p+pp−1
Sinest impair alors2bn2=an2+ 1. Pourp= 2b2n,
(√2 + 1)n=√2bn+an=√p+pp−1
Exercice 8 :[énoncé]
a) 0 est racine de multipliciténdePndonc
∀ Pm < nn(m)(0) = 0
Le polynômePnest de degré2ndoncPn(m)= 0pour toutm >2net ainsi
∀m >2n Pn(m)(0) = 0
Reste à traiter le casn6m62n.
En développant par la formule du binôme
Pn(x) =k=Xnn!1kn!(−a)n−kbkxn+k
0
PuisquePn(m)(0)est donné par la dérivation du termexm, on obtient
Pn(m)(0) =n1!nm−n!(−a)2n−mbm−n(n+m)!∈Z
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b) On remarque
∀x∈R Pn(ab−x) =Pn(x)
donc
∀m∈N Pn(m)(ab) = (−1)mP(nm)(0)∈Z
c) On a
|In−0|=n1!Z0πtn(bt−a)nsintdt61πn+1(|b|π+|a|)nn−→−+−−∞→0
n!
d) Par l’absurde, supposonsπ=ab.
Corrections
b) On remarque
donc
c) On a
∀x∈R Pn(ab−x) =Pn(x)
∀m&