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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 25 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Extremum
de
fonctions
de
deux
variables
Exercice 1[ 01762 ][correction]
Déterminer les extrema locaux des fonctionsf:R2→Rsuivantes :
a)f(x y) =x2+xy+y2−3x−6y
b)f(x y) =x2+ 2y2−2xy−2y+ 5
c)f(x y) =x3+y3
d)f(x y) = (x−y)2+ (x+y)3
e)f(x y) =x3+y3−3xy.
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) Point critique(03),f(03) =−9. Posonsu=xetv=y−3.
f(x y)−f(03) =u2+uv+v2=12(u2+v2)1+(2u+v)2>0
fadmet un minimum en(03).
b) Point critique(11),f(11) = 4. Posonsu=x−1etv=y−1
f(x y)−f(11) =u2+ 2v2−2uv= (u−v)
fadmet un minimum en(11).
c) Point critique(00).
Pour toutn∈N?,
f(1n0)>0etf(−1n0)<0
Pas d’extremum.
d) Point critique(00).
2+v2>0
2
f(1n0) =n12+n13∼n12>0etf(−1n−1n+ 1n2)∼ −n3<0
Pas d’extremum.
e) Points critiques(00)et(11).
Etude en(00):
f(1n0)>0etf(1n1n)∼ −3n2<0
Corrections
Pas d’extremum en(00).
Etude en(11):
Posonsu=x−1etv=y−1.
f(x y)−f(11) =u3+3u2+v3+3v2−3uv=u3+32u2+v32+3v2+3(2u−v)2
Comme
on a localement
3
u3+2u2∼032u2>0 etv3+23v20∼23v
f(x y)−f(11)>0
fadmet un minimum relatif en(11).
Ce minimum ne peut tre absolu carf(−n0)→ −∞.
2>0
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD