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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 184 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Equation fonctionnelle et équation différentielle
Exercice 1[ 01548 ][correction]
Déterminer les fonctionsf: [01]→Rdérivables telles que
f0(x) +f(x) =f(0) +f(1)
Exercice 2[ 01546 ][correction]
Déterminer les fonctionsf: [01]→Rdérivables telles que
∀x∈[01] f0(x) +f(x) +Z10f(t)dt= 0
Exercice 3[ 01545 ][correction]
Déterminer toutes les fonctionsf:R→Cdérivables telles que
∀s t∈R f(s+t) =f(s)f(t)
Exercice 4[ 01552 ][correction]
Trouver toutes les applicationsf:R→Rdérivables telles que
∀x∈R f0(x) +f(−x) =ex
Exercice 5[ 01553 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R→Rdeux fois dérivables telles que
∀x y∈R f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y)etf(0) = 1
Exercice 6[ 01554 ][correction]
Trouver toutes les applicationsf:R→Rdeux fois dérivables telles que
∀x∈R f00(x) +f(−x) =x
Exercice 7[ 00378 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R→Rcontinues vérifiant
∀x∈R f(x) =Z0xtf(t) dt+ 1
Enoncés
Exercice 8[ 03108 ][correction]
Soientfune fonction réelle continue sur[01]etλun réel.
Trouverufonction réelle continue sur[01]telle que
=λZ0xu(t
u(x) ) dt+f(x)
Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02890 ][correction]
Trouver les fonctionsf:R→Rcontinues telles que pour toutxréel
x
f(x)−2Zf(t) cos(x−t) dt= 1
0
Exercice 10CCP MP[ 03197 ][correction]
Déterminerfdérivable surRtelle que
f0(x) =f(2−x)
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Une telle fonction est solution d’une équation différentielle de la formey0+y=C
et vérifiey(0) +y(1) =C.
Les solutions de cette équation différentielle sonty(x) =C+De−x.
y(0) +y(1) = 2C+D1 +ee=C⇔=−ee+C1
D
Les solutions sont les
e+ 1−−x+1
e
Inversement : ok
f(x) =C+ 1
e
Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsfsolution.
fest solution d’une équation différentielle de la formey0+y+λ= 0donc
f(x) =Ce−x−λ. De plus, pour une telle fonction,
Z10f(t)dt=C(e−1)λ
−
e
et donc une telle fonction est solution si, et seulement si,
C(e−1)−λ=λ
e
d’où
C(e−1)
λ=
2e
Finalement, les solutions sont
f(x) =Ce−x−C(e2−1)
e
Exercice 3 :[énoncé]
Supposonsfsolution. En évaluant la relation ens=t= 0on obtient
f(0) =f(0)2doncf(0) = 0ouf(0) = 1
En dérivant la relation enton obtient :f0(s+t) =f(s)f0(t)puis en évaluant en
t= 0:f0(s) =f0(0)f(s).
Ainsifest solution d’une équation différentielle de la formey0=αyavecα∈C.
On en déduitf(x) =CeαxavecC α∈C.
Parmi ces solutions, celles vérifiantf(0) = 0ou1sontf(x) = 0etf(x) =eαx.
Inversement, ces fonctions sont solutions.
Exercice 4 :[énoncé]
Supposonsfest solution. On af0(x) =ex−f(−x)doncf0est dérivable et
f00(x) =ex+f0(−x) =ex+e−x−f(x)doncfest solution de l’équation
différentielley00+y= 2chx
Après résolution :f(x) =chx+C1cosx+C2sinx.
Inversement, une telle fonction est solution du problème si, et seulement si,
shx−C1sinx+C2cosx+chx+C1cosx−C2sinx=exi.e.C1+C2= 0.
Finalement les solutions du problème posé sontf(x) =chx+C(cosx−sinx).
Exercice 5 :[énoncé]
Soitfsolution.
En prenantx= 0dans la relation, on observe quefest nécessairement paire.
En dérivant la relation deux fois par rapport àxon obtient
f00(x+y) +f00(x−y) = 2f00(x)f(y)
En dérivant la relation deux fois par rapport àyon obtient
f00(x+y) +f00(x−y) = 2f(x)f00(y)
On en déduit
f00(x)f(y) =f(x)f00(y)
Poury= 0, on obtient l’équationf00(x) =λf(x)avecλ=f00(0).
Siλ >0alorsf(x) =ch√λx.
Siλ= 0alorsf(x) = 1.
Siλ <0alorsf(x) = cos−√λx
Inversement, on vérifie par le calcul qu’une fonction de la forme précédente est
solution du problème posé.
Exercice 6 :[énoncé]
Soitfune solution du problème posé.
Posonsg(x) =f(x) +f(−x). La fonctiongest une fonction paire, deux fois
dérivable et solution de :y00+y= 0. Par suiteg(x) =Ccos(x)
Posonsh(x) =f(x)−f(−x). La fonctionhest une fonction impaire, deux fois
dérivable et solution de :y00−y= 2x. Par suiteh(x) =Dshx−2x.
On en déduitf(x) =Ccosx+Dshx−x.
Inversement de telles fonctions sont bien solutions.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Exercice 7 :[énoncé]
Sifest solution alorsfestC1et on a :f0(x) =xf(x)etf(0) = 1.
Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente :f(x) =ex22.
Inversement,f(x) =ex22est solution du problème posé.
Exercice 8 :[énoncé]
Soituune fonction solution.
Posons
U(x) =Zx
u(t) dt
0
La fonctionUest de classeC1et vérifie
U(0)
(U0(x=)0=λU(x) +f(x)
Corrections
La résolution de l’équation différentielle linéaireU0=λU+f(x)donne par pour
solution générale
U(x) =Ce−λx+Z0xf(t)eλtdte−λx
La condition initialeU(0) = 0déterminer la constanteC
C= 0
On en déduit la fonctionu
u(x) =f(Z0xf(t)eλ(t−x)dt
x)−λ
Inversement, une telle fonction est solution car sa primitive s’annulant en 0 vérifie
l’équationU0=λU+f(x).
Exercice 9 :[énoncé]
Remarquons
x
Z0xf(t) cos(x−t) dt= cosxZ0xf(t) costdt+ sinZ0f(t) sintdt
x
Sifest solution alors
f(x) = 1 + 2Z0xf(t) cos(x−t) dt
et doncf(0) = 1.
fest dérivable car somme de fonctions dérivables.
f0(x) =−2 sinxZ0xf(t) costdt+ 2 cosxZ0xf(t) sintdt+ 2f(x)
etf0(0) = 2.
fest alors deux fois dérivable et
f00(x) = 1−f(x) + 2f0(x)
3
Ainsifest solution de l’équation différentielle
y00−2y0+y= 1
vérifiant les conditions initialesy(0) = 1ety0(0) = 2.
La solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2 est
y(x) = (λx+µ)ex+ 1
Cela conduit àf(x) = 2xex+ 1.
Inversement, soit par calculs, soit en remontant le raisonnement, on peut affirmer
que la fonction proposée est solution.
Exercice 10 :[énoncé]
Soitffonction solution (s’il en existe). Une telle fonction est de dérivéeune
dérivable et doncfest deux fois dérivable avec
f00(x) =−f0(2−x) =−f(x)
Ainsifest solution de l’équation différentielley00+y= 0de solution générale
y(x) =λcosx+µsinx
En injectant dans l’équation étudiée, une telle fonction est solution si, et
seulement si,
λ=λsin 2−µcos 2
(−µ=λcos 2 +µsin 2
ce qui après résolution équivaut à l’équation
(1 + sin 2)λ 2)= (cosµ
En écrivantλ= (cos 2)α, on aµ= (1 + sin 2)αet la solution générale de
l’équation étudiée est de la forme
f(x) =α(sinx+ cos(2−x))
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD