La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Sujets
Informations
Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 61 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
Nombre de surjections
Dans tout le problème,etdésignent des entiers naturels.
Partie I
Pour tout∈ℕet∈ℤ, on notele nombre de parties àéléments d’un ensemble àéléments.
1. Rappeler l’expression deà l’aide de nombres factoriels lorsque∈ {0,…,}.
Que vautpour>ou<0 ?
2.
3.
4.
4.a
4.b
Démontrer, pour tout 0≤≤+1 , la relation+−1=+. 1
Etablir, pour tout 01+1
≤ ≤+, la relation−1=+1
On poseσ(,)=∑(−1)−.
=0
Calculerσ(0, 0) etσ(0,) pour>0 .
Montrer :σ(,+1)= −σ(,)+1+1σ(+1,+1) .
Partie II
On note(, nombre d’applications surjectives au départ d’un ensemble à) leéléments et à l’arrivée dans
un ensemble àéléments.
1. Calculer(,) et(,) pour>.
2. On considèreun ensemble à+1 éléments etun ensemble à+1 éléments.
2.a Combien y a-t-il de surjections:→dont la restriction au départ de\soit encore surjective ?
2.b Combien y a-t-il de surjections:→dont la restriction au départ de\n’est pas surjective ?
2.c En déduire la relation :(+1,+1)=(+1)((,+1)+(,) .
3.
Montrer que(,)=σ(,) .
Partie III
désigne un ensemble àéléments.
On appelle partition enclasses d’un ensemble (, toute famille1,…,) formée de parties detelles
que∀∈ {1,…,},≠ ∅,∪=et∀,ℓ∈ {1,…,},≠ℓ⇒∩ℓ= ∅.
1≤≤
1. Soit (1,…,) une partition àclasses de.
1.a Montrer que∀∈,∃!∈ {1,…,}tel que∈.
On pose alors()=ce qui définit une application:→ {1,…,}.
1.b
Montrer queest surjective.
2.
3.
Inversement, soit:→ {1,…,}surjective.
On pose, pour tout∈ {1,…,},=−1({}) .
Montrer que (1,…,) est une partition àclasses de.
Déduire de ce qui précède le nombre de partitions àclasses de
.