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Publié par | exercice-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
Exercice 18 :
Exercices d’approfondissement
Soituasletiufie´dpeinrau1∈]0√22arel[etldnretaoirrnee´ucce
⋆
∀n∈N un+1=un−2un3
1. Etudiez la suiteu(monotonie et convergence).
2. On pose pour tout entiern∈N⋆,wn=21− q1 Montrez
un+1u2n. ue (wn) est
convergente vers 4.
3. Utilisez lemC´e`deeaorre´seth`olbatuqriepo´eurun∼2√.1
n
Exercice 19 :Soit (un)alustidee´nfirpaieu0∈R⋆et∀n∈N un+1=un+un2.
1. On suppose queu0∈]−210[. Montrez queun∼ −n.1
2. On suppose queu0>Mo0.rentiepartidee´nfiqzeualusvnln2=unnconverge
versunre´elλ. Montrez que∀n∈Nlnun≤2nλ≤ln(1 +unz-enuiseD´ed).
un´equivalentdeun.
− −
3. On suppose queu0∈]∞12ennDo[.uqe´nuzedtnelaviun.
Exercice20:ApplicationdeC´es`al’´etuded’unesuitere´currente
aro
Soit (unusti)alparfinieed´eu0∈R⋆et∀n∈N un+1=un+u2n.
1. On suppose queu0∈]−210[. Montrez queun∼ −1n.
2. On suppose queu0>.0laueitsuntMozqreiefin´eedrpavn2ln=nunconverge
versunre´elλ. Montrez que∀n∈Nlnun≤2nλ≤ln(1 +un-zesneD´).uied
une´quivalentdeun.
3. On suppose queu0∈]− ∞−21etdenalviuqe´nuzennoD.[un.
Exercice 21 :parlfinieed´esuitzealutid1E.ednodaee´nu0∈Ret la relation
dere´currence:
1 +u2n
=
∀n∈Nun+12
2Etudiezlasuited´efinieparladonne´edeu0∈Rontir´delaetlare:erucecner
.
∀n∈N
(1 +un)2
un+14=
8
3.Etudiezlasuitede´finieparladonne´edeu0∈R+⋆noed´rceruercn:eitaleralte
∀n∈N
u3n+ 3un
un+13=u2+ 1
n
4.Etudiezlasuited´efinieparladonneedeu0>−1relaetlader´tioncnerruce:e
´
∀n∈Nun+1= ln(1 +un)
5.Etudiezlasuited´efinieparladonn´eedeu0∈Rercn:eed´rcerurelationetla
∀n∈N
un+1= sin(un)
6.Etudiezlasuited´efinieparladonn´eedeu0∈R:dnoie´rerrucecneletaltrae
∀n∈N
u3n+ 1
un+1=3