La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Sujets
Informations
Publié par | algebre-mpsi |
Nombre de lectures | 275 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
1.
2.a
2.b
2.c
2.d
1.
2.a
2.b
3.a
3.b
Correction
Partie I
(,)=22−(|)2≥0 en vertu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Il y a égalité ssietsont colinéaires.
Si∈ {,}⊥alors(,,)=((||())(||)00)=(,)2.
0 0 (|)
Si=λ+alors en notant1,2,3les colonnes de(,,) on a3=λ1+2donc
(,,)=0 .
(|) (|) (|) (|) (| () 0|) (|) (|)
(,,)=(|) (|) (|)=(|) (|) 0+(|) (|) (|)
(|) (|) (|)+(|) (|) (|) (|) (|) (|) (|)
2 2
=(,)+(,,)=(,)
Si (,, libre alors () est,) est libre et∉Vect(,) donc(,)≠0 et≠0 puis
(,,)=(,)2≠0 .
Si(,,)=0 alors(,)=0 ou=0 donc (,) liée ou∈Vect(,) puis (,,) libre.
Partie II
Notons1,…,les colonnes de(1,…,) .
Si (1,…,) est liée alors∃(λ1,…,λ)≠(0,…, 0) telle queλ11+⋯+λ= par suite0 et
λ11+⋯+λ=0 et donc(1,…,)=0 .
=∑,donc (|)=∑=,|∑=ℓ,ℓ=∑=, ,.
=1 1ℓ1 1
′
=(,) ,=(,) avec′,=,.=(,) avec,=∑′,,=∑,,=(|) donc
=1=1
=(1,…,) .(1,…,)=det=(det)2>0 carest inversible.
2 2
∀∈,−=−+−=−2+−car−=∈⊥et−∈.
Par suite−2≥−2et donc(,)≥−=.
De plus pour=∈,−=donc(,)≤et finalement(,)=.
En décomposant la dernière colonne :
(1|1)⋯(1|) (1|)
⋮ ⋮ ⋮
(1,…,,)=(|1)⋯(|) (|)
(|1)⋯(|) (|)+2
(1|1)⋯(1|) (1|) (1|1)⋯(1|) 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
=(|1)⋯(|) (|)+(|1)⋯(|) 0
(|1)⋯(|) (|0)⋯02
=(1,…,,)+2(1,…,)=0+2(,1…,)=2(,1…,)
do(,)(1,…,,)
nc==.
(1,…,)
1.
2.a
2.b
3.
1.
2.
3.
Partie III
ϕest clairement une forme bilinéaire symétrique.
ϕ,)=1()2d≥0 car()2≥0 et 0≤1 .
(
0
Siϕ(,)=0 alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive :∀∈0,1 ,()2=0
puis()=0 . Ainsi le polynômepossède une infinité de racines et donc=0 .
=(2,ℝ1[])2.
1 1 1
1 1 1 2 3
1 1 1 1 1 1
1 2= − = 1 1−11−111−1=1
1 1 3 4 12 , 2 3 4=15−16210 12+38 9. 0612
2 3 1 1 1
3 4 5
Via II.3.b :=(1,,2)=1 2160=. 1
(1,) 1 12 180
Partie IV
deg= −1 donc la partie entière deest nulle.
admetpôles simples qui sont les−. La DES deest de la forme :
()==∑(λ+a ev) cλ=∏1+.
1=−
≠
(1)=⋯=(−1)= en développant selon la dernière colonne :0 donc
… ….
=()1(1, ,1,1, ,1)
− − −
D’autre part, via←−(λ11+⋯+λ−1−1,=λ(1,…,,1,…,) .
d’où l’égalité proposée.
Raisonnons par récurrence sur≥1 .
Pour=1 :1(1,1)=11+1ce qui correspond à la formule proposée (sachant qu’un produit sur le
vide vaut 1.)
Supposons la propriété établie au rang−1≥1 .
−1
∏(−)
Au rang:(1,…,,1,…,)=−=11()−1(1,…,−1,1,…,−1) avec
∏(+)
=1
−1
∏(−)∏(−)∏(−)
()==∏1(+ : e )RH rap t−1(1,…,−1,1,…,−1)=1≤<≤−1∏(1≤<+≤)−1donc
1≤,≤−1
=1
∏(−)∏(−)
(1,…,,1,…,)=1≤<≤∏(1≤+<≤urécncre R..e et)ébail
1≤,≤
4.a
4.b
4.c
Pour=et=−1 .
∏(−)2
=≤ < ≤
=(1,…,,1,…,) donc1∏ (+−)1.
1≤,≤
On peut aussi écrire