Mathématiques. 1S1 et 1S2. Partie 2. 3h. Calculatrice autorisée. Les exercices seront faits sur des feuilles séparées. Exercice 1. (7 points) Dans un repère (O ; i|; j|), (P) est la parabole d’équation y = x²%3x + 1 et (D) est la droite d’équation y = x + 2. 1.Construire (P) et (D). Justifier cette construction. 2.A et B sont deux points de (P) d’abscisses respectives a et b. Calculer, en fonction de a et b, le coefficient
directeur de la droite (AB) et le simplifier.
3.A quelle condition sur a et b a%t%on (AB)//(D? Exprimer alors b en fonction de a.) 4.Soit I le milieu de [AB] dans le cas où b = 4 a.
a. Construire les droites(A1B1), (A2B2) et (A3B3) avec respectivement a = 0 puis a = 1 puis a = 2/3 Quelle conjecture peuton formuler sur les milieuxI1, I2et I3des segments [A1B1], [A2B2] et [A3B3]. b. Démontrer que les coordonnées de I sont 2 et a² 4a + 3. En déduire que tous les points I sont alignés.
c. Justifier que l’ordonnée de I a une valeur minimale et donner cette valeur.
d. Préciser alors à quel ensemble appartiennent les points I.
Exercice 2. (2 points) Le directeur d’une salle de spectacle a remarqué qu’à 8 € la place il peut compter sur 500 spectateurs ; de plus,
chaque fois qu’il diminue de 0,50 € le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus.
Quel tarif doit%il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Quelle est cette recette ?
Exercice 3. (4 points)
Sur chaque côté du triangle ABC les subdivisions sont régulières.
1.et J comme barycentres de A et B,Exprimer I
K et L comme barycentres de B et C
et M et N comme barycentres de A et C.
B
J
I
A
K
N
2.Prouver que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en un point à préciser.
Construction à faire sur l’annexe.
L
M
C
Exercice 4. (4 points) ABC est un triangle. | | | | | Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que ||MA + 4 MB + MC|| = 3 ||MA + MB||. Construction à faire sur l’annexe. Exercice 5. (3 points) Une plaque métallique homogène circulaire de rayon 4, est percée de deux petit disques, dont les centres sont les milieuxdessegments[OA]et[OB],lesrayonsétanttouslesdeuxégauxàO4AConstruire le centre d’inertie G de la plaque. (la construction doit être justifiée ) Questionbonusfacultative:OnveutperceruntroisièmedisquedecentreSetderayonO4A,detellesortequelecentre de gravité de la plaque percée des trois trous soit le point O. Quel doit être l’emplacement de S ?
A
E
B
F
o
Construction à faire sur l’annexe.
ANNEXE. à rendre avec votre copie.
A
B
J
E
I
B
A
K
B
F
o
Exercice 3.
N
L
M
Exercice 4.
NOM :
C
Lundi 22 novembre 2010.
NOM :
Mathématiques. 1S1 et 1S2. Partie 1. 1h. A faire et rendre sur cette feuille. Calculatrice interdite.
Dans chacun des exercices suivants, une réponseau moinsest exacte. Mettre V (vrai) pour une réponse juste, F (faux) pour une réponse fausse. Vous répondez à toutes les questions. 1.Le milieu I de [AB] est barycentre du système : (A, 3) (B, 3) (A, 3) (B, 3) (A, 3) (B, 3) (A, 3) (B, 3) 2. ABC est un triangle. A’, B’ et C’ sont les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]. G est le centre de gravité du triangle ABC. AlorsGest le barycentre de :
(A, 2) (A’, 2) (C, 2) (C’, 1) (B, 2) (B’, 1) (A, 2) (B, 2) (C, 2) 3.Soit ABC un triangle, G le barycentre de (A , 3) ; (B , 1) ; (C , 1). Alors : G15(21AC#CB) Pour tout pointM,M1(2CM#BM) 5
4.le milieu du côté [AB]. Alors : parallélogramme non aplati. I est un Soit ABCD
I(B, 1), (C, 1), (D, 1).est le barycentre de barycentre G de (A, 2), (B, 1), (C, 2)
Le
A est le barycentre de (B, 1), (C, 1), (D, 1) Le barycentre H de (A, 2), (B, 1), (C,a)
est sur la droite (BD). est enDsia= 1. 5.A, B, C et G sont quatre points tels que A|G =%35A|B2+A5|C Gestlebarycentrede(A,1)(B,53)(C,25)Gestlebarycentrede(A,6)(B,%3) (C, 2) Aestlebarycentrede(G,1)(B,53)(C,%G)25bletes(B,5)nertracy(,Aeed%3) (C, 2) 6.Soit A, B et C trois points non alignés du plan. B’ le milieu du segment [AC] et C’ celui de [AB]. G est le barycentre du système {(A, 3) (B, 2) (C, 1)}.
G est le barycentre du système {(A, 1), (C, 3), (B, 2) (A, 4) (C, 2)}. On a B|G =%12A|B61+B|C .
G appartient au segment [B’C’] Tous les pointMdu plan vérifient : | | | | 3MA + 2MB = 6MG%MC.
II.
1. A et B sont deux points du plan.
Pour chacune des relations suivantes G estil barycentredes points pondérés A et B ? Justifier.
Enoncer la propriété du barycentrepartiel et la démontrer.
3. Dans le plan muni du repère (O ; i|,| on considère les points A(2 ; 3), B(1 j ); 2) et C(5 ; 4). Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.
Corrigé. Dans chacun des exercices suivants, une réponseau moinsest exacte. 1.et (B, k) pour tout réel k non nul.Le milieu I de [AB] est l’isobarycentre de A et B donc le barycentre de (A, k) (A, 3) (B, 3) V (A, 3) (B, 3) F (A, 3) (B, 3) F (A, 3) (B, 3) V 2. ABC est un triangle. A’, B’et C’ sont les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB]. du triangle ABC donc l’isobarycentre de A, B et C.G est le centre de gravité le barycentre de (A, 2) (A’, 2) est le milieu de la médiane [AA’] ce n’est donc pas G le barycentre H de (B, 2) (B’, 1) est tel que B|H = (1/3)B|B' ce n’est donc pas G barycentre J de (C, 2) (C’, 1) est « à l’extérieur du segment [CC’] ce n’est donc pas Gle (A, 2) (A’, 2) F (C, 2) (C’ 1) F , (B, 2) (B’, 1) F (A, 2) (B, 2) (C, 2) V | | || 3. Soit ABC un triangle, G est le barycentre de (A, 3) ; (B, 1) ; (C, 1). Alors"MÎ3MA + MB + MC = 5MGP, G1(52AC%BC)ÛG15(2AC#CB)ÛAG152ACcette égalité indique que GÎpour cela il faudrait que le(AC) coefficient de B soit nul. G1(23AC%BC cas précédent ) voir | En prenant M en A on obtient : A|B + AC = 5A|G d’où A|C + C|B + A|C = 5A|G et donc A|G = (1/5) (2A|C + C|B) M1(25CM#BM)Û 5AM2CM%2BM10Û5MA%2MC%2MB10 cette égalité signifie que M est le barycentre de (A, 5) (B,%2) et (C,%2) (car 5%2%2¹0) ce qui n’est évidemment pas vrai pour un point M quelconque. 2 G1(5AC%BC) FG1(215AC#CBV) 2 tout point Pour FM,M(2CMBM) G1(3AC%BC)15# F 4. Soit ABCD un parallélogramme non aplati. I le milieu du côté [AB]. Alors : le centre de gravité du triangle BCD I est le barycentre de (B, 1), (C, 1), (D, 1) signifie que I est I ne serait donc pas le milieu de [AB] ABCD est un parallélogramme donc A|C = A|D + A|B c’est à dire A|D + A|B%A|C = o|cette égalité signifie que A est le barycentre de (B, 1), (C, 1), (D, 1) car 1%1+1¹0 Le barycentre G de (A, 2), (B, 1), (C, 2) est aussi celui de (B, 1) (J, 4) avec J milieu de [AC] et donc milieu de [BD] on a alors GÎ(BJ) et puisque JÎ(BD), GÎ(BD) | D| +B = DA D|C donc D|B%D|A%D|C = o|ce qui signifie que D est le barycentre de (A,%1), (B, 1), (C,%1) donc de (A,%k), (B, k), (C,%k) pour tout réel k non nul. et il n’existe pas de réel k tel que%k = 2 et k = 1 I Vest le barycentre de (B, 1), (C, 1), (D, 1). Le barycentre G de (A, 2), (B, 1), (C, 2) F est sur la droite (BD).
F V
A est le barycentre de (B, 1), (C, 1), (D, 1) Le barycentre H de (A, 2), (B, 1), (C,a) est enDsia= 1.
5. A, B, C et G sont quatre points tels que A|G =%53A|B +25A|C A|G =%53A|B +25A|CÛA|G +53A|B%25A|C = o| 1) (B,ce qui signifie que A est le barycentre de (G,35) (C,%52)
6G|A%3G|B + 2G|C =| de (A, 6) (B,o ce qui signifie que G est le barycentre%3) (C, 2) car 6%3 + 2¹0 ce qui élimine les deux autres propositions
Gestlebarycentrede(A,1)(B,53)(C,52)
Aestlebarycentrede(G,1)(B,35)(C,%)25
F Gest le barycentre de (A, 6) (B,%3) (C, 2)
V Gest le barycentre de (A, 5) (B,%3) (C, 2)
6. Soit A, B et C trois points non alignés du plan. B’ le milieu du segment [AC] et C’ celui de [AB].
G est le barycentre du système (A, 3) (B, 2) (C, 1).
V
F
G est le barycentre de (A, 1), (C, 3), (B, 2) (A, 4) (C, 2)ÛG est le barycentre de (A, 1+4), (C, 3%2), (B, 2)
Ûle barycentre de (A, 3), (C, 1), (B, 2)G est
G est le barycentre de (A, 3), (B, 2), (C, 1)ÛG est le barycentre de (A, 2), (B,2), (A,1), (C, 1)Û* *Û[AC] et C’ celui de [AB].G est le barycentre de (C’,4) (B’,2) puisque B’ est le milieu du segment "| | | | en remplaçant M par B, on obtient : 3B|A + B|C = 6 B|G MÎP, 3MA + 2MB + MC = 6 MG et donc B|G=B21|61B+A|C soit B|G =%21A|BB+16|C "MÎP, 3 || | | | | |M|C MA + 2MB + MC = 6 MG et donc"MÎP, 3MA + 2MB = 6 MG%
II.
G est le barycentre du système (A, 1), (C, 3), (B, 2) (A, 4) (C, 2). |+ 1 On a B|G =%2BA6B1|C.
1. A et B sont deux points du plan.
V G appartient au segment [B’C’]
Tous les pointMdu plan vérifient : V| | | | 3MA + 2MB = 6MG%MC.
Pour chacune des relations suivantes G estil barycentredes points pondérés A et B ? Justifier.
Construire G si possible. | | B a. 5GA + 5 GB =|o ____________´A__________´G__________´________________ G est le barycentrede (A ; 5) et (B ; 5) donc le milieu de [AB]
| || b. 2GA 3GB = AB ______´G________´________´________´B________´A_________ | | | | | | | 2GA 3GB = ABÛ2GA 3GB = AG + GB Û3G|A 4G|B| o = ÛG barycentrede (A ; 3) et (B ; 4) car 3 4≠ 0 | | Construction de G : AG 4 AB =
V
V
c. G est le symétrique de A par rapport à B. _________´A__________´B__________G´______________ G est le symétrique de A par rapport à BÛG|A = 2G|BÛG|A 2G|B=|oÛG barycentrede (A ; 1) et (B ; 2)
| || d.2AB + 5BG = AG_______________´A_____´ _____´_____G´_____´B________________ 2A| 5BB +| AG =|GÛ2A|G + 2G|B + 5B| AG =|GÛÛG|A + 3G||de (A ;1) et (B ; 3) B = oÛG barycentre | | construction de G : AG = (3/4) AB
2. ROC : (restitution organisée de connaissances)
Enoncer la propriété du barycentrepartiel et la démontrer.
Voir le cours
3. Dans le plan muni du repère (O ;|i ,| ;j ) on considère les points A(2 ; 3), B(1 ; 2) et C(5 4). Déterminer les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC. Le centre de gravité du triangle ABC est le barycentrede (A ; 1)(B ; 1)(C ; 1) yes moyennes pond et les coordonnées du bar centre sont l érées des abscisses et des ordonnées d xA3+xB+ xC = = 2 et yG= yA3y+B+ yC= = 1/3 onc xG= Exercice 1.
dans (O ; i|;|j ),est la parabole d’équation y = x² (P) %3x + 1 et (D) est la droite d’équation y = x + 2. 1. Construire (P) et (D).10y Justifier cette construction. Construction de (P) :9 1 de x² est positif donc (P) est « tournée vers le haut »Le coefficient xessicsbaruop2(--=eLP)ade(metsom´=13)3/2etdoncpourodrno8née (3/2)²%3(3/2) + 1 =%5/4 d’équation x = 3/2 est axe de symétrie de (P).La droite 7 quelques points pour construire (P) Il reste à trouver 6I3 Construction de (D) : (D) coupe l’axe des ordonnées en 2 et l’axe des abscisses en%2.5B1 2. A et B sont deux points de (P) d’abscisses respectives a et b.4 lCeacloceuflfeirc,ieenntfdoinrcetcitoenurdedealeatdbr,oite(AB).A33I1(P) A est sur (P) et son abscisse est a2 donc son ordonnée est a²%3a + 1 Besdtosnucr(sPo)neotrsdoonnnaébesceisstseb²es%1btb3+A11B2 lefficientdirecteurde(AB)estm=yxBBy-x-AAI2 e co-1 0 1 3 4 =b²-3b+1-a²+3a-1-1A2 b - a (b - a)(b + a) - 3(b - a) = b - a = b + a%3 3. A quelle condition sur a et b a%t%on (AB)//(D) ? les 2 droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur il faut pour cela que b + a%3 = 1 (AB) // ( donc + a = 4 bc'est à direD)Ûb = 4 a 4. Soit I le milieu de [AB] dans le cas où b = 4 a(c'est à dire (AB) //(D) d’après 3.).a. Construire les droites(A1B1), (A2B2) et (A3B3) avec respectivement a = 0 puis a = 1 puis a = 2/3 avecl’abscisse a de A on calcule celle de B : b = 4 a puis leurs ordonnées avec y = x² 3x + 1
on obtient : A1(0 ; 1) et B1(4 ; 5) puis A2(1 ; 1) et B2(3 ; 1) puis A3(2/3 ; 31/9) et B3(14/3 ; 79/9) ou : on calcule les coordonnées de A et on se sert du coefficient directeur 1 pour tracer la droite. Quelle conjecture peuton formuler sur les milieuxI1, I2et I3des segments [A1B1], [A2B2] et [A3B3]. il semblerait que les points I soient alignés sur la droite d’équation x = 2 , parallèle à l’axe (O ;|j)
B3
b. Démontrer que les coordonnées de I sont 2 et a² 4a + 3. En déduire que tous les points I sont alignés. I est le milieu de [AB] donc xI=xAx+2B-=aa=4++a2b= 2 2 yA+ yBa² - 3a + 1 + (4 - a)² - 3(4 - a) 1 + = yI 2= 2 = = a²%4a + 3 Quelle que soit la valeur de a, les points I ont tous pour abscisse 2 donc ils sont sur la droite (D) d’équation x = 2
5x
c. Justifier que l’ordonnée de I a une valeur minimale et donner cette valeur.
yI= a²%4a + 3 yIun trinôme ayant une valeur minimale car le coefficient de a² est positif est cette valeur minimale est obtenue quand a =%(%4)/2 = 2 et vaut (2)²%4(2) + 3 =%1
d. Préciser alors à quel ensemble appartiennent les points I. on déduit des questions précédentes que I est sur la demi%droite caractériséex=y³2 par-1
Exercice 2. Le directeur d’une salle de spectacle a remarqué qu’à 8 € la place il peut compter sur 500 spectateurs ; de plus, chaque fois qu’il diminue de 0,50 € le prix de la place, cela lui amène 100 spectateurs de plus. Quel tarif doit%il pratiquer pour obtenir la recette maximale ? Quelle est cette recette ? Avec x diminutions de 0,50 € : le prix sera alors de 8%0,50 x € la place et il devrait y avoir 500 + 100 x spectateurs La recette sera donc R = (8%0,5 x)(500 + 100 x) = =%50 x² + 550 x + 4000 Restuntrinômequiaunevaleurmaximale(carlecoefficientdex²estnégatif)obtenuepourx=2-(5-5500)=5,5cette recette vaut alors :%50(5,5)² + 550(5,5) + 4000 = 5512,5 € Bilan : avec le prix d’une pace à 8%5,5(0,5) = 5,25 € il y aura 500 + 100(5,5) = 1050 spectateurs et la recette sera maximale et sera de 5512,5 €
Exercice 3.
Sur chaque côté du triangle ABC les subdivisions sont régulières.A 1. Exprimer I et J comme barycentres de A et B, K et L comme barycentres de B et CI N et M et N comme barycentres de A et C. J M | La figure nous indique que I|B =%2IA LB K or I|B =%2I|AÛ2 I|A + I|B =|o donc I est la barycentre de (A,2) et (B,1) car 1 + 2¹0 les positions relatives des points I, J, K, L, M, N étant les mêmes sur les trois côtés du triangle, On démontre de même que J est le barycentre de (B,2) (A,1) K est le barycentre de (B,2) (C,1) et L est le barycentre de (B,1) (C,2) N est le barycentre de (A,2) (C,1) et M est le barycentre de (A,1) (C,2) 2. Prouver que les droites (IL), (JM) et (KN) sont concourantes en un point à préciser. Soit G le centre de gravité du triangle ABC G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,2) (B,1) (B,1) (C,2) donc de (I,3) (L,3) doncG est le milieu de [IL] G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,1) (B,2) (A,1) (C,2) donc de (J,3) (M,3) donc G est le milieu de [JM] G est le barycentre de (A,2) (B,2) (C,2) donc de (A,2) (C,1) (C,1) (B,2) donc de (N,3) (K,3) donc G est le milieu de [NK] G étant le milieu des trois segments [IL], [JM] et [NK] il est le point de concours des trois droites. Exercice 5.
ABC est un triangle.
C
| | | || Détermineretconstruirel’ensemble des points M du plan tels que ||MA + 4 MB + MC|| = 3 ||MA + MB||. | | | | | Pour « traiter » cette égalité il faut « réduire » les sommes MA + 4 MB + MC et MA + MB Déterminer . | | | Réduction de MA + 4 MB + MC : 1+4+1¹0 donc il existe un point G barycentre de (A,1) (B,4) (C,1) on a alors : pour tout point M du plan,B | | | | MA + 4 MB + MC = 6 MG Réduction de M|A + M|B :G soit I le milieu de [AB],I | pour tout point M du plan MA + M|B = 2 M|I A C Recherche des points M :J Compte tenu des réductions précédentes : ||M|A + 4 M|B + M|C|| = 3 || | || |MA MB|| devient ||6 MG|| = 3 ||2 MI||. + or ||6 M|G|| = 3 ||2 M|I||Û6|| M|G|| = 6|| M|I||Û6 MG = 6 MIÛMG = MI donc l’ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment [GI] Construire construction de G : SoitJ le milieu de [AC], J est le barycentre de (A,1) (C,1) D’après la propriété du barycentre partiel, on a G barycentre de (J,2) (B,4) donc de (J,1) (B,2) on a alors G|J + 2 G|B =|o d’où J|G = (2/3)J|B égalité qui permet de construire G. construction de I : évidente
Exercice 6. Une plaque métallique homogène circulaire de rayon 4, est percée de deux petits disques, dont les centres sont les milieux des
segments [OA] et [OB], les rayons étant tous les deux égaux à OA/4
1. Construire le centre d’inertie G de la plaque. La plaque étant homogène, la masse de chaque partie est proportionnelle à l’aire de cette partie. L’aire A du disque de départ estϑ´4² = 16ϑL’aire de chaque petit disque enlevé estϑ(4/4)² c’est à direϑEt on sait que le centre d’inertie d’un disque homogène est son centre. visualisationdu problème : disque pleineitreni’Eepittdisquecentred%stiderdectntssiepemaϑqeurtie’ineF=sqditnecderteuuormasse’in41ϑGerétie centre d’inertie O% masse 16ϑmasseϑ ce qui se traduit par : G est le barycentre de (O, 16ϑ) (E,%ϑ) (F,%ϑ) donc G est le barycentre de (O,16) (E,%1) (F,%1)en simplifiant les coefficients parϑConstruction de G : soit I le milieu de [EF], I est le barycentre de (E,%1) (F,%1) Gest alors le barycentre de (O,16) (I,%2) donc de (O,8) (I,%1) d’oùO|G = (%1/7) O|I ou : tit disq m’dnirte14asseencotrequisdϑeéGreuit++eiEtitqsidep’idrtneceuerentrentcedssampeeϑuertne’iFei=diplesquetnerecndi’asm1se6ϑieOnietr masseϑ ce qui se traduit par : O est le barycentre de (G, 14ϑ) (E,ϑ) (F,ϑ) donc O est le barycentre de (G, 14 ) (E, 1) (F, 1) donc O est la barycentre de (G, 7) (I, 1) avec I milieu de [EF] | On a alors 7O|G + O|I =|o doncO|G = (%1/7) OI2. On veut percer un troisième disque de centre S et de rayon OA/4, de telle sorte que le centre de gravité de la plaque percée des trois trous soit le point O. Quel doit être l’emplacement de S ?