MAT432 : Corrige du controle Classant du 4 Novembre 2004 Exercice I Les hypotheses sur n et ? montrent aisement que l'integrale converge. On choisit la determination principale du loga- rithme c'est-a-dire definie surC\]0,?∞[ et dont l'argument varie entre ?pi et pi. On en deduit la determination de la puissance ?. La fonction f(z) = z ? 1+zn est holomorphe sur C\]0,?∞[ prive de ses poles e(2k+1) ipi n . Soit ? > 0 et ?? l'arc de cercle de rayon ? et d'angle compris entre 0 et 2pi/n, ? ? ? ∫ ?? z? 1 + zn dz ? ? ? ≤ 2pi? n ?? |1? ?n| . Les hypotheses sur ? montrent que cette integrale tend vers 0 lorsque ? tend vers 0 ou bien vers +∞. Le theoreme des residus applique au contour decrit lorsque r tend vers 0 et R tend vers +∞ donne alors, ∫ +∞ 0 x? 1 + xn dx? ∫ +∞ 0 (xe2ipi/n)? 1 + (xe2ipi/n)n e2ipi/ndx = 2ipiRes(f ; eipi/n) c'est-a-dire, (1? e 2ipi n (?+1)) ∫ +∞ 0 x? 1 + xn dx = 2ipiRes(f ; eipi/n
- courbes ?
- hypotheses sur ?
- arc de cercle de rayon ? et d'angle
- nom- bre de solutions de l'equation
- hu ?