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Publié par | LeParisienEtudiant |
Publié le | 22 juin 2018 |
Nombre de lectures | 97 328 |
Langue | Français |
Extrait
MATHÉMATIQUES - 2018
SérieS
Obligatoireetspécialité
Remarque1. Cesujetestcomposédequatreexercicesclassiques:uneétudedefonctions(exercice
1), des probabilités (exercice 2), de la géométrie dans l’espace (exercice 3) et des complexes ou de
l’arithmétique(exercice4).
Bienquecomposésdequestionsclassiques,chaqueexerciceavaituneouplusieursquestionsàprise
d’initiative,oùilfallaitavoirunreculnécessairesurlesquestionsfaitesprécédemment.
EXERCICE 1(6points)
1. Oncherchelesvaleursdexquiégaliselargeurethauteurdelachainette,c’est-à-dire2x(largeur)doit
1 x �xêtreégaleà (e �e �2)etdonc
2
x �x x �xe �e �2�4x,e �e �4x�2�0
2. (a) Pourx�0,ona
( )xe �x x �xx �4 �e �2�e �4x�e �2
x
� f(x)
(b) Onutiliselaformeprécédente:parcroissancecomparée,
xe
lim ��1
x!�1 x
xe
doncparsomme lim �4��1 .Parproduit,
x!�1 x
( )
xe
lim x �4 ��1
x!�1 x
�xDeplus, lim e �0doncparsomme
x!�1
�xlim e �2��2
x!�1
etfinalement,
lim f(x)��1
x!�1
3. (a) f estdérivablesur[0;�1 [etona,pourx⩾0:
′ x �xf (x)�e �e �4
′ x �x x(b) Ona f (x)�0,e �e �4�0.Puisquee �0,parproduit
′ x x �xf (x)�0,e (e �e �4)�0
x 2 x,(e ) �1�4e �0
1/8x(c) PosonsX�e dansl’équationprécédente.Celle-cis’écritalors
2 xX �4X�1�0 et X�e
2L’équationduseconddegréapourdiscriminant∆�(�4) �4�20etpourracines
p p p p
p p4� 20 4�2 5 4� 20 4�2 5
X � � �2� 5 et X � � �2� 51 22 2 2 2
p p
x ′OronavaitposéX�e . f (x)�0sietseulementsiX�2� 5ouX�2� 5soit
p p
x xe �2� 5 ou e �2� 5
p ( p )
Lapremièreestimpossiblecar2� 5�0,etladeuxièmedonnex�ln 2� 5 .( p )
′Bilan: f (x)�0sietseulementsix�ln 2� 5
4. (a) D’aprèsletableauprécédent,onendéduitletableausuivant:
p
x �10 ln(2� 5)
′ �f (x) 0 �
0 �1
f(x) p
f(ln(2� 5))
p
(b) Sur]0;ln(2� 5)], f eststrictementdécroissanteetcontinue.Ellevaut0en0etestdoncstric-p
tementnégativesur]0;ln(2� 5)]:ellenepeuts’yannuler.p p
Sur[ln(2� 5);�1 [, f estcontinue,etstrictementcroissante. f(ln(2� 5))��3,3�0et lim f(x)��1 .
x!�1
D’après le théorème de la bijection, l’équation f(x)� 0 admet donc une unique solution surp
[ln(2� 5;�1 [.
Bilan: f(x)�0n’admetqu’uneuniquesolutionsur]0;�1 [.
5. (a) Oncomplète:
m a b b�a b�a�0,1
2 3 1 Vrai
2,5 2 2,5 0,5 Vrai
2,25 2,25 2,5 0,25 Vrai
2,375 2,375 2,5 0,125 Vrai
2,4375 2,4375 2,5 0,625 Faux
Alafindel’algorithme,a�2,4375etb�2,5.
(b) Onaunalgorithmededichotomiepourdéterminerunevaleurapprochéedel’équation f(x)�
�10à10 près.Ainsi,onobtient
2,4375���2,5
t t6. D’aprèscequiprécède, vérifiel’équation f(x)�0,etdonc ��.Onobtient
39 39
39�2,4375�95,0625�t�2,5�39�97,5
etpuisquelalargeur(etdonclahauteur)estledoubledecettesolution,onobtientunencadrement
delahauteur:
190,125�H�195
2/8EXERCICE 2(4points)
PartieA
1. (a) D’aprèsl’énoncé,onaP(G)�0,20.
(b)
Onutilisel’énoncé,etoncomplèteenutilisantlaloidesnoeuds:lasommedesprobabilitésissuesd’unnoeudvaut1.
2. Parpropriété,
P(V\G)�P(V)�P (G)�0,4�0,08�0,032V
3. D’aprèsladéfinitiondesprobabilitésconditionnelle
P(V\G)
P (G)�V
P(V)
IlnousfautP(V\G).D’aprèslaformuledesprobabilitéstotales:
P(G)�P(V\G)�P(V\G)
etdonc
P(V\G)�P(G)�P(V\G)�0,20�0,032�0,168
Ainsi
0,168
P (G)� �0,28V 0,6
PartieB
1. On dispose d’une expérience de Bernoulli, de succès “V”, probabilité P(V)�0,4 et d’échec
“V”.
Onrépètecetteexpériencen fois,demanièresuccessive,indépendante,etavecremise.
X,quicomptelenombredesuccès,suitdoncuneloibinomiale,deparamètren etp�0,4.
3/82.
(a) PardéfinitiondeX:
( )
40 15 40�15P(X�15)� p (1�p) �0,123
15
(b) OnchercheP(X⩾20)�1�P(X⩽19).Enutilisantlacalculatrice,
P(X⩾20)�0,130
3. OnchercheP(1450⩽X⩽1550),c’est-à-dire:
P(1450⩽X⩽1550)�P(�50⩽X�1500⩽50)
( )
�5 X�1500 5
�P ⩽ ⩽
3 30 3
( )
5 5
�P � ⩽Z⩽
3 3
Zsuivantuneloinormalecentréeréduite,enutilisantlacalculatrice:
P(1450⩽X⩽1550)�0,904
EXERCICE 3(5points)
PartieA
1. (a) Par définition des hauteurs, la hauteur issue de E dans le tétraèdre ABCE est la droite
(AE)(car ABCDEFGHestuncubedonc(AE)et(ABC)sontorthogonaux)etcelleissue
deCestladroite(BC)(car(BC)et(ABE)sontorthogonaux).
(b) Lesdroites(AE)et(BC)nesontpasconcourantes.Eneffet,(AE)estdansleplan(ADEH)
et(BC)dansBCGFetcesdeuxplanssontstrictementparallèles,carABCDEFGHestun
cube.Ainsi,danscetétraèdreABCE,leshauteursnepeuventêtreconcourantes.
# # #
2. (a) Danslerepère(A;AB;AD;AE),ona A(0,0,0),C(1,1,0)etH(0,1,1).Onconstatequeces
trois points vérifient l’équation x�y�z� 0, qui est bien l’équation d’un plan. Donc
(ACH):x�y�z�0.
0 1
�1
# @ A1(b) OnaF(1,0,1)etD(0,1,0).AinsiFD .Remarquonsqu’unvecteurnormalde(ACH)
�1
0 1
1
# #@ A�1est n ��FD. Ainsi, (FD) est orthogonale au plan (ACH), et passant par F, donc
1
estlahauteurissuedeFdutétraèdreACHF.
(c) Parlemêmeraisonnement,lahauteurissuedeAestladroite(AG),celleissuedeCest
ladroite(CE)etcelleissuedeHestladroite(HB).
Ilestindiquédansl’énoncéquecesquatredroitessontconcourantes(enlecentredu
cube).Ainsi,lesquatrehauteursissuesdeACHFsontantes.
PartieB
1. (a) La droite (MK) est orthogonale au plan (NPQ). La droite (PQ) est une droite du plan
(NPQ). Par définition de l’orthogonalité, (MK) est orthogonale à toutes les droites du
plan(NPQ),etdoncorthogonaleà(PQ).
4/8(b) (PQ) est orthogonale à (MK) et (NK), donc à deux droites distinctes sécantes du plan
(MNK).Parthéorème,(PQ)estorthogonaleauplan(MNK).
2. (PQ) est orthogonale au plan (MNK) donc à toute droite du plan. En particulier, (PQ) est
orthogonaleà(MN)etdonclesarêtes[MN]et[PQ]sontorthogonales.
PartieC
Onvautiliserlecritèreprécédent.Onconstateque
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
�4 7 7 3 3 0
# # # # # # @ A @ A @ A @ A @ A @ ARS �1 , RT �6 , RU 2 , ST �5 , SU 3 et TU 8
�4 3 1 7 5 �2
Remarquonsalorsque
# #
RT�SU�7�3�6�3�3�5�18̸ 0
Ainsi,lesarêtes[RT]et[SU]nesontpasorthogonales,etletétraèdrenepeutêtreorthocentrique.
EXERCICE 4 (NON SPÉ)(5points)
1.
(a) Onpartdelaformeexponentielle:
p p ( ( ) ( ))3 � 3 � ��i
6e � cos � �isin �
2 2 6 6( )p p
3 3 1
� �i
2 2 2
p p
3 3 3�i 3
� �i �
4 4 4
p
3 ��i
6(b) Onutilisel’écriturez �8etpourtoutn z � e z .Onaalors0 n�1 n
2
p � � ��i �2i �i
6 6 3z �8, z �4 3e , z �6e �6e0 1 2
puis
p p p� �
�3i �i6 2z �3 3e �3 3e ��3 3i3
p
Lapartieimaginairedez est�3 3.3
(c)
Onreprésenteles4pointsenutilisantleurreprésentationexponentielleetenutilisantunrapporteur.
5/8( )p n
3 n��i
62. (a) SoitPlapropositiondéfiniepourtoutentiernatureln par:P :“z �8� e ”.n n
2
(p )0 0�3 �i
6• Pourn�0,z