Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2007 Corrigé du partiel du 30 mars 2007 Ex 1. Loi de Cauchy et L.F.G.N. Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des moyennes arithmétiques d'une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in- tervenant dans l'énoncé sont supposées définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ). 1) La variable aléatoire réelle X suivant la loi de Cauchy de densité : f : R? R+, t 7? 1 pi(1 + t2) , on a pour tout entier n ≥ 1 : P (X > n) = ∫ +∞ n f(t) dt = ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt. En notant que pour tout t ? [n,+∞[, t ≥ 1, d'où 1+ t2 ≤ 2t2, on obtient la minoration : ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt ≥ ∫ +∞ n 1 pi(2t2) dt = 1 2pi [ ?1 t ]+∞ n = 1 2pin .
- varx ≤
- hypothèse de convergence
- mn ?
- convergence en loi
- accord avec la loi du zéro
- résolution approchée de l'équation
- ?? ?
- probabilité de succès