ESSECM B ACONCOURSD’ADMISSION2001OptionéconomiqueMATHÉMATIQUESIIIMercredi 2 mai 2001 de 8h 00 à 12h 00Laprésentation,lalisibilité,l’orthographe,laqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondesraisonnementsentrerontpour une part importante dans l’appréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est inter-dite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.EXERCICE1 (Étude d’une suite de nombres réels)On étudie dans cet exercice la suite (S ) définie pour n≥ 1 par :nnX1 1 1 1S = 1+ + +···+ c’est à dire S = .n n2 24 9 n kk=1A cet effet, on introduit pour tout nombre entier k≥ 0 les deux intégrales suivantes :Z π Z π2 22k 2 2kI = cos (t)dt ; J = t cos (t)dt.k k0 01. Convergence de la suite (J /I ).k k(a) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre réel t tel que 0≤ t≤ π/2 :πt≤ sin(t).2(b) Établir l’inégalité suivante pour tout nombre entier k≥ 0 :2π0≤ J ≤ (I − I ).k k k+140(c) Exprimer I en fonction de I en intégrant par parties l’intégrale I (on pourra poser u (t) = cos(t) etk+1 k k+12k+1v(t)= cos (t) dans l’intégration par parties).(d) Déduire des résultats précédents que J /I tend vers 0 quand k tend vers+∞.k k2. Convergence et limite de la suite (S ).n(a) Exprimer I en fonction de J et J en intégrant deux fois par parties l’intégrale I (k≥ 1).k k ...
MATHÈMATIQUES III Mercredi 2 mai 2001 de 8h 00 À 12h 00
La prsentation, la lisibilit, l’orthographe, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’apprciation des copies. Les candidats sont invits À encadrer dans la mesure du possible les rsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matriel lectronique est inter dite. Seule l’utilisation d’une rgle gradue est autorise. EXERCICE 1(Ètude d’une suite de nombres rels) On tudie dans cet exercice la suite (Sn) dfinie pourn≥1 par : n X 1 11 1 Sn=1+ + +∙ ∙ ∙+c’estÀdireSn=. 2 2 4 9n k k=1 A cet effet, on introduit pour tout nombre entierk≥0 les deux intgrales suivantes : Z Z π π 2 2 2k2 2k Ik=cos (t)dt;Jk=tcos (t)dt. 0 0 1. Convergencede la suite (Jk/Ik). (a) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre relttel que 0≤t≤π/2 : π t≤sin(t). 2 (b) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk≥0 : 2 π 0≤Jk≤(Ik−Ik+1). 4 0 (c) ExprimerIk+1en fonction deIken intgrant par parties l’intgraleIk+1(on pourra poseru(t)=cos(t) et 2k+1 v(t)=cos (t) dans l’intgration par parties). (d) Dduiredes rsultats prcdents queJk/Iktend vers 0 quandktend vers+∞. 2. Convergenceet limite de la suite (Sn). (a) ExprimerIken fonction deJketJk−1en intgrant deux fois par parties l’intgraleIk(k≥1). (b) Endduire la relation suivante pourk≥1 : Jk−1Jk1 −=. 2 Ik−1Ik2k (c) CalculerJ0etI0, puis dterminer la limiteSde la suite (Sn).