Niveau: Supérieur
Corrige de l'epreuve d'Analyse du Concours 2005 Jean-Marie Monier Questions preliminaires 1. Soit x = (xk)k>0 ? E. Notons y = T x = (yk)k>0. On a : ? k > 0, |yk| = ? ? ? 1 k + 1 k ∑ j=0 xj ? ? ? 6 1k + 1 k ∑ j=0 |xj | 6 1k + 1(k + 1)||x|| = ||x||, et donc : y ? E et ||y|| 6 ||x||. Ceci montre que E est stable par T et que : ?x ? E, ||T x|| 6 ||x||. On note T : E ?? E l'endomorphisme induit par T sur E. 2. Puisque T est lineaire, que E est un C-sev de E , et que E est stable par T , T est lineaire. D'apres le resultat de 1., T est continue. De plus, |||T ||| 6 1. 3. Soit x = (xk)k>0 ? Ec. Il existe ? C tel que xk ?? k∞ .
- vp ?p∞
- k∞
- theoreme de sommation des relations de comparaison
- yk?1 ??
- yk ?
- k?1 ∑
- proche en proche