BTS SE 2000, corrigé, par Elodouwen π⎡ ⎤et là c’est gagné, car dans 0; on connaît l’expression de f(x):⎢ ⎥2⎣ ⎦EXERCICE 1 ππ π 2 222 π ⎡t ⎤ π1) graphe de f: 2 2a = tdt = tdt = =0 ∫ ∫ ⎢ ⎥0 0π 2 2 8⎣ ⎦0–––––––a+T2a = f t cos nωt dt , même raisonnement, on choisit bien a:( ) ( )n ∫aTπ π π2 4 π2 2 2a = f(t)cos(nωt)dt = tcos(nωt)dt =2 tcos(nωt)dtπn ∫ ∫ ∫0 0−π π 22b2) f étant paire, les sont nuls.n il n’y a plus qu’à procéder à l’intégration par parties.2πT =π donc ω = =2πTπ π21 1⎡ ⎤a+T1 2 2a =2 tcos(nωt)dt =2 t sin(nωt) −2 sin(nωt)dtna = f(t)dt , lorsque la fonction est paire il est toujours ∫ ∫⎢ ⎥0 0 0∫ nω nωa ⎣ ⎦0Tattention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partoutT TT ⎡ ⎤préférable de prendre a= − , ce qui revient à intégrer sur − ; : π⎢ ⎥2 2 π2 ⎣ ⎦ 22 2 −1⎡ ⎤2a = ⎡tsin(nωt)⎤ − cos(nωt)π n ⎣ ⎦ ⎢ ⎥01 nω nω nω2 ⎣ ⎦0a = f t dt : c’est la somme des deux rectangles grisés( )π0 ∫−π 2 2 ⎛π π ⎞ 2 ⎛ −1 π −1⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞a = sin 2n − cos 2n − car ω =2⎜ ⎟ ⎜ ⎟n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠2n 2 2 2n 2n 2 2nπ 1a = sin nπ + cos nπ −1( ) ( ( ) )n 22n 2n1 na = −1 −1( )( )n 22non dit que c’est deux fois le rectangle sombre, par parité:π22a = f t dt( )0 ∫0π2 2 2 2n π π cos(nπ) π π −1= − soit = − ce qui revient… exactement au même…car cosnπ = −1 ∑ ∑( ) 2 24 8 n 4 8n≥1 (2p+1)P≥0nimpair3.2) D’après ce qui précède, et vu qu’un nombre impair n peut s’écrire n=2p+1 avec p un entier quelconque, 2 cos 2(2p+1)tπ ( )∀x∈R,f(x)=S(x)= −∑ 28 (2p+1)P≥0π π ππ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0; ∀x∈ 0; ,S x = ...
2)fétant paire, lesbnsont nuls. T=πdoncω=2π=2 T a0=T1∫aa+Tf(t)dt, lorsque la fonction est paire il est toujours préférable de prendrea=−T2, ce qui revient à intégrer sur−⎣⎢⎡T;2T2⎥⎤⎦: a0=1∫π2πf(t)dt: cest la somme des deux rectangles grisés π−2
on dit que cest deux fois le rectangle sombre, par parité: 0=2πf(t) aπ∫20dt
et là cest gagné, car dans⎡⎣⎢0;π2⎤⎥⎦on connaît lexpression def(x): π a0=π2∫20π2πtdt=∫0π2tdt=⎡⎢⎣t2⎥⎦⎤02=π82 2 ––––––– an=T2∫a+Tf(t)cos(n), même raisonnement, ωt dton choisit biena: a
an=2∫−π2πf(t)cos(nωt)dt=4π∫02ππ2tcos(nωt)dt=2∫20πtcos(nωt)dt π2 il ny a plus quà procéder à lintégration par parties.
π an=2∫0π2tcos(nωt)dt=2⎡⎢⎣t1ωsin(nωt)⎦⎤⎥02−2∫20πn1ωsin(nωt)dt n attention à ne pas oublier de bien mettre le 2 partout π 2−nω an=n2ω⎡⎣tsin(nωt)⎤⎦0π2−⎣⎢⎡ω1cso(t)⎥⎤⎦02 nωn an=22n⎝⎜⎛2πsin⎜⎝⎛2nπ2⎞⎠⎟−⎟⎠⎞22n⎛⎜⎝2−n1cos⎝⎛⎜2nπ⎞⎟⎠−2−n1⎟⎠⎞carω=2 2 an=2πnsin(nπ) +2n12(cos(nπ)−1) =12(−1)n−1 an2n